[论文解读] Empirical Distributions of Eigenvalues of Product Ensembles

Tiefeng Jiang, Yongcheng Qi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用框架，用于通过行列式点过程分析随机矩阵乘积系综中特征值的极限谱分布。该文推导出 i.i.d. Ginibre 矩阵乘积及 Haar 单元矩阵截断乘积的实证特征值分布的显式极限，即使矩阵数量 $ m $ 依赖于 $ n $，也揭示了依赖于比值 $ n_j/n $ 的丰富极限行为。

ABSTRACT

Assume a finite set of complex random variables form a determinantal point process, we obtain a theorem on the limit of the empirical distribution of these random variables. The result is applied to %We study the limits of the empirical distributions of the eigenvalues of two types of $n$ by $n$ random matrices as $n$ goes to infinity. The first one is the product of $m$ i.i.d. (complex) Ginibre ensembles, and the second one is the product of truncations of $m$ independent Haar unitary matrices with sizes $n_j imes n_j$ for $1\leq j \leq m$. Assuming $m$ depends on $n$, by using the special structures of the eigenvalues we developed, explicit limits of spectral distributions are obtained regardless of the speed of $m$ compared to $n$. For the product of $m$ Ginibre ensembles, as $m$ is fixed, the limiting distribution is known by various authors, e.g., Götze and Tikhomirov (2010), Bordenave (2011), O'Rourke and Soshnikov (2011) and O'Rourke {\it et al}. (2014). Our results hold for any $m\geq 1$ which may depend on $n$. For the product of truncations of Haar-invariant unitary matrices, we show a rich feature of the limiting distribution as $n_j/n$'s vary. In addition, some general results on arbitrary rotation-invariant determinantal point processes are also derived. Especially, we obtain an inequality for the fourth moment of linear statistics of complex random variables forming a determinantal point process. This inequality is known for the complex Ginibre ensemble only [Hwang (1986)]. Our method is the determinantal point process rather than the contour integral by Hwang.

研究动机与目标

• 开发一个关于形成行列式点过程的复随机变量的极限经验分布的一般定理。
• 将此定理应用于两类乘积随机矩阵系综：i.i.d. Ginibre 矩阵的乘积和 Haar 单元矩阵截断的乘积。
• 即使当矩阵数量 $ m $ 随 $ n $ 增长，也获得这些系综的显式、普适的极限谱分布。
• 揭示 Haar 单元矩阵截断情况下极限分布的丰富结构，其依赖于比值 $ n_j/n $。
• 将已知的关于行列式点过程线性统计量的四阶矩不等式结果，从 Ginibre 情况推广至更一般的情形。

提出的方法

• 仅基于特征值的径向行为，推导复行列式点过程经验分布的一般极限定理。
• 利用两类系综中与特征值点过程相关的核的旋转不变性。
• 分别将两类系综中特征值的模表示为 i.i.d. 伽马或贝塔随机变量的乘积。
• 将一般定理应用于 $ m $ 个 i.i.d. Ginibre 矩阵的乘积，证明无论 $ m $ 如何依赖于 $ n $，均收敛于极限分布。
• 分析 $ m $ 个独立的 $ n_j \times n_j $ 尺寸 Haar 单元矩阵截断的乘积，推导依赖于 $ n_j/n $ 渐近行为的极限分布。
• 通过径向与角向分量变换，对定义在角度和缩放半径上的经验测度 $ \mu_n $ 和 $ \nu_n $ 应用弱收敛论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \to \infty $ 时，$ m $ 个 i.i.d. $ n \times n $ Ginibre 矩阵乘积的特征值极限经验分布是什么，且 $ m $ 可能依赖于 $ n $？
• RQ2 当 $ m $ 和比值 $ n_j/n $ 随 $ n $ 变化时，$ m $ 个独立 Haar 单元矩阵截断乘积的极限谱分布如何表现？
• RQ3 能否推导出仅依赖于特征值径向结构的行列式点过程的一般极限定理？
• RQ4 对于任意旋转不变的行列式点过程，其线性统计量的四阶矩不等式是什么？它如何扩展 Hwang 对 Ginibre 系综的结果？
• RQ5 在 Haar 截断乘积中，特征值经验测度在何种条件下弱收敛于非均匀极限？

主要发现

• 对于 $ m $ 个 i.i.d. Ginibre 矩阵的乘积，对任意 $ m \geq 1 $，包括当 $ m \to \infty $ 时，均显式推导出极限谱分布，推广了以往对固定 $ m $ 的结果。
• 对于 Haar 单元矩阵截断的乘积，极限分布依赖于渐近比值 $ n_j/n $，表现出丰富的行为，包括均匀和非均匀极限。
• 当 $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \beta \in (0,\infty) $ 时，极限特征值密度为 $ \frac{\beta}{\pi |z|^2 (\beta - 2\log|z|)^2} $，其中 $ |z| < 1 $。
• 当 $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \infty $ 时，极限密度变为 $ \frac{1}{2\pi |z|^2 (1 - \log|z|)^2} $，其中 $ |z| < 1 $。
• 当 $ \max_j |n/n_j - 1| \to 0 $ 且 $ m \to \infty $ 时，极限特征值分布在单位圆盘上均匀分布，密度为 $ \frac{1}{2\pi |z|} $。
• 建立了一个关于旋转不变行列式点过程线性统计量的新四阶矩不等式，将 Hwang 对 Ginibre 系综的结果推广至一般此类过程。