[论文解读] Empirical measures of partially hyperbolic attractors

Sylvain Crovisier, Dawei Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文研究了具有1维中心的拟双曲吸引子中轨道的渐近统计行为，证明了尽管中心李雅普诺夫指数在几乎处处存在，但经验测度可能不收敛。文章建立了吉布斯 $u$-态的存在性，并表明对于具有1维中心的 $C^{1+\beta}$ 微分同胚，SRB 测度是唯一且物理的，且对时间平均给出了大偏差估计。

ABSTRACT

In this paper, we study the limit measures of the empirical measures of Lebesgue almost every point in the basin of a partially hyperbolic attractor. They are strongly related to a notion named Gibbs u-state, which can be defined in a large class of diffeomorphisms with less regularity and which is the same as Pesin-Sinai's notion for partially hyperbolic attractors of $C^{1+α}$ diffeomorphisms. In particular, we prove that for partially hyperbolic $C^{1+α}$ diffeomorphisms with one-dimensional center, and for Lebesgue almost every point: (1) the center Lyapunov exponent is well defined, but (2) the sequence of empirical measures may not converge. We also give some consequences on SRB measures and large deviations.

研究动机与目标

• 理解具有1维中心丛的拟双曲吸引子中典型轨道的统计行为。
• 分析与吸引 basin 中勒贝格几乎处处点相关联的经验测度的收敛性质。
• 阐明在低正则性下的拟双曲系统中，吉布斯 $u$-态在刻画物理测度中的作用。
• 在传递系统中建立SRB测度的唯一性，并推导时间平均的大偏差估计。

提出的方法

• 分析勒贝格几乎处处 $ x $ 在拟双曲吸引子的吸引 basin 中的极限行为，即经验测度 $ m_{x,n} = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)} $。
• 利用广义佩辛不等式，通过不稳定丛上的雅可比行列式，从下方有界测度熵。
• 应用吉布斯 $u$-态理论，通过沿不稳定叶的测度分解来刻画物理测度。
• 利用不稳定叶丛的利普希茨正则性及 [LeYo1] 的结果，证明分解与不稳定叶上的勒贝格测度等价。
• 通过时间-$ t_0 $ 映射 $ \phi_{t_0} $ 将连续时间情形约化为离散时间映射，利用遍历性与SRB测度的唯一性。
• 应用 [PuSh1] 中的大偏差估计，对时间平均可观测量使用偏离均值的集合测度的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ C^{1+\alpha} $ 拟双曲吸引子（具有1维中心），勒贝格几乎处处的点是否存在中心李雅普诺夫指数？
• RQ2 当中心李雅普诺夫指数有定义时，经验测度序列是否仍可能不收敛？
• RQ3 在何种条件下，此类系统存在唯一的物理（SRB）测度？
• RQ4 在传递拟双曲流中，对连续可观测量的时间平均，成立何种大偏差估计？
• RQ5 在 $ C^{1+\alpha} $ 设置下，吉布斯 $u$-态与佩辛-辛mai SRB 测度之间有何关系？

主要发现

• 对于具有拟双曲分裂 $ E^{ss} \oplus E^c \oplus E^{uu} $ 且 $ \dim E^c = 1 $ 的 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚，中心李雅普诺夫指数 $ \lambda^c(x) $ 在吸引 basin 中勒贝格几乎处处的点 $ x $ 处存在。
• 当 $ \lambda^c(x) \neq 0 $ 时，点 $ x $ 的轨道位于一个双曲、遍历且物理的测度的吸引 basin 中。
• 存在一个 $ C^\infty $ 传递微分同胚在 $ \mathbb{T}^3 $ 上，具有1维中心，使得勒贝格几乎处处的点具有稠密轨道，且经验测度不收敛。
• 对于具有唯一遍历吉布斯 $ u $-态的传递奇异双曲吸引子，SRB 测度是唯一的，其吸引 basin 具有全勒贝格测度。
• 对于任意连续可观测量 $ \psi $，时间平均满足指数大偏差估计：时间平均偏离 $ \mu $-平均的集合的勒贝格测度随时间指数衰减。
• 唯一SRB测度 $ \mu $ 是唯一的物理测度，且对勒贝格几乎处处的 $ x $，经验测度 $ \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{\phi_s(x)} ds $ 在 $ t \to \infty $ 时弱收敛于 $ \mu $。