[论文解读] Empirical processes of dependent random variables

Wei Biao Wu|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 68被引用 4

一句话总结

本文通过鞅方法研究平稳、因果、依赖的随机变量的统计过程，建立了弱收敛和经验中心极限定理，避免了强 mixing 条件。证明了在短程依赖下，极限分布为以 √n 归一化的高斯过程，将 Donsker 型定理扩展到依赖设定，并在最优矩条件下成立。

ABSTRACT

Empirical processes for stationary, causal sequences are considered. We establish empirical central limit theorems for classes of indicators of left half lines, absolutely continuous functions and piecewise differentiable functions. Sample path properties of empirical distribution functions are also discussed. The results are applied to linear processes and Markov chains.

研究动机与目标

• 发展一种不依赖强 mixing 条件的平稳、因果、依赖序列经验过程的弱收敛理论。
• 为包含左半直线指示函数、绝对连续函数和分段可微函数的函数类建立经验中心极限定理。
• 刻画在短程和长程依赖下经验过程的极限行为，特别是针对线性过程和马尔可夫链。
• 提供确保经验过程弱收敛到高斯过程的紧致性和有限维收敛条件。
• 推导在依赖设定下弱收敛的最优或近似最优矩条件。

提出的方法

• 应用鞅差表示将经验过程分解为可测分量，从而可使用最大值不等式和积分不等式。
• 在 ℓ∞(G) 空间中使用外期望和弱收敛框架，处理当 G 不可数时的可测性问题。
• 采用 Sobolev 型类和加权 L2 范数以控制函数类的熵和度量熵。
• 通过熵积分界和过程尾部行为的矩条件（特别是利用 Hardy 不等式）建立紧致性。
• 对长程依赖线性过程应用渐近展开，推导出 √n 归一化的极限定理。
• 采用二进制划分和截断策略，控制具有受控变差的函数类上经验过程的上确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平稳、因果、依赖序列的经验过程会弱收敛到高斯过程？
• RQ2 能否在不假设强 mixing 的前提下，将 i.i.d. 序列的经典 Donsker 定理推广到依赖过程？
• RQ3 矩条件和依赖结构（短程 vs. 长程）如何影响经验过程的归一化和极限分布？
• RQ4 Sobolev 型类和加权范数在依赖设定下确保经验过程紧致性中起什么作用？
• RQ5 如何将最大值不等式和积分不等式适配以控制非 i.i.d. 函数类索引的经验过程的上确界？

主要发现

• 对于短程依赖的平稳因果过程，以左半直线指示函数为指标的经验过程在 √n 归一化下弱收敛到布朗桥。
• 在最优矩条件下，为绝对连续函数和分段可微函数建立了经验中心极限定理。
• 通过熵积分界和具有受控 L2 范数导数的 Sobolev 型函数类，证明了经验过程的紧致性。
• 极限高斯过程作为 ℓ∞(G) 中的弱极限存在，需满足有限维收敛和紧致性条件，外期望用于保证可测性。
• 对于长程依赖的线性过程，需使用渐近展开才能实现 √n 归一化的极限定理，表明与 i.i.d. 情况存在偏离。
• 论文推导出当截断增加时，经验过程在 Gγ,μ 和 Hη,δ 等类上的上确界以概率趋于零的条件，从而确保紧致性。