[论文解读] Empowering the Configuration-IP $-$ New PTAS Results for Scheduling with Setups Times

Klaus Jansen, Kim-Manuel Klein+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 16

一句话总结

该论文提出了模块配置整数规划（MCIP），即经典配置整数规划的增强形式，可为具有设置时间的调度问题实现高效多项式时间近似方案（EPTAS）。通过将设置时间与经舍入的容器尺寸内的作业部分建模，并利用n重整数规划，作者在可拆分和不可拆分情形下分别实现了对 $1/\varepsilon$ 的单指数和双指数依赖关系的EPTAS，显著优于以往的常数因子近似方案。

ABSTRACT

Integer linear programs of configurations, or configuration IPs, are a classical tool in the design of algorithms for scheduling and packing problems, where a set of items has to be placed in multiple target locations. Herein a configuration describes a possible placement on one of the target locations, and the IP is used to chose suitable configurations covering the items. We give an augmented IP formulation, which we call the module configuration IP. It can be described within the framework of n-fold integer programming and therefore be solved efficiently. As an application, we consider scheduling problems with setup times, in which a set of jobs has to be scheduled on a set of identical machines, with the objective of minimizing the makespan. For instance, we investigate the case that jobs can be split and scheduled on multiple machines. However, before a part of a job can be processed an uninterrupted setup depending on the job has to be paid. For both of the variants that jobs can be executed in parallel or not, we obtain an efficient polynomial time approximation scheme (EPTAS) of running time $f(1/\\varepsilon)\ imes \\mathrm{poly}(|I|)$ with a single exponential term in $f$ for the first and a double exponential one for the second case. Previously, only constant factor approximations of $5/3$ and $4/3 + \\varepsilon$ respectively were known. Furthermore, we present an EPTAS for a problem where classes of (non-splittable) jobs are given, and a setup has to be paid for each class of jobs being executed on one machine.

研究动机与目标

• 解决经典配置IP因额外约束而失效的具有设置时间的调度问题。
• 提出一种新的IP公式——模块配置IP（MCIP），将设置时间与作业部分整合到结构化容器中。
• 为具有设置时间的可拆分与不可拆分调度变体设计高效的EPTAS。
• 通过对接模块尺寸应用几何与算术舍入，减少近似方案的运行时间。
• 展示MCIP在需要按类设置时间的作业类别问题中的适用性。

提出的方法

• 提出模块配置IP（MCIP），即经典配置IP的增强公式，其中每个模块代表一个设置时间及其关联的作业部分或批次。
• 将每台机器的负载建模为容器尺寸之和，其中每个容器容纳一个设置时间及其对应作业部分，尺寸通过几何与算术舍入进行舍入。
• 利用n重整数规划高效求解MCIP，利用其对少量块类型已知的可解性。
• 应用简化技术：猜测完成时间，限制不同处理时间的数量，并将处理时间与设置时间按 $\varepsilon^2 T$ 缩放。
• 通过将容器尺寸舍入至大小为 $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$ 的集合 $\bar{H}$，引入 $\bar{H}$-结构化调度，确保有足够的空间用于装箱。
• 调整处理时间边界 $\bar{T}$ 与 $\breve{T}$，以适应舍入过程中增加的容器尺寸。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典配置IP能否被扩展以更有效地处理调度问题中的设置时间？
• RQ2 能否为具有设置时间的调度问题设计一种EPTAS，实现对 $1/\varepsilon$ 的单指数或双指数依赖？
• RQ3 对容器尺寸应用几何与算术舍入，能否在保持解质量的同时减少模块类型的数量？
• RQ4 MCIP如何通过n重整数规划技术高效求解？
• RQ5 MCIP在多大程度上可推广以处理需要按类设置时间的作业类别问题？

主要发现

• 在具有设置时间的可拆分调度模型中，实现了运行时间为 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^2 \log^3 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$ 的EPTAS。
• 在不可拆分设置类模型中，实现了运行时间为 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^3 \log^4 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$ 的EPTAS。
• 通过几何与算术舍入，MCIP中不同模块尺寸的数量减少至 $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$，从而可通过n重IP实现高效求解。
• MCIP公式可将设置时间与作业部分建模为具有舍入尺寸的容器，同时保持可行性与近似保证。
• 该方法优于以往的 $5/3$ 和 $4/3 + \varepsilon$ 近似，实现了两种情形下的 $(1+\varepsilon)$-近似。
• MCIP框架可推广至具有作业类的问题，其中每台机器对每类均需承担一次设置成本。