[论文解读] Empty Squares in Arbitrary Orientation Among Points

Sang Won Bae, Sang Duk Yoon|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文研究了平面上 n 个点集中任意方向下空正方形的组合与算法性质。研究建立了具有四个接触对的空正方形数量的紧致 Ω(n) 到 O(n²) 界，提出了一种新颖的输出敏感算法，可在 O(s∗ log n) 时间内使用 O(n) 空间计算出所有此类正方形，并将该方法应用于在 O(n² log n) 时间内解决最大空正方形和最小正方形环问题，显著优于先前的结果。

ABSTRACT

This paper studies empty squares in arbitrary orientation among a set $P$ of $n$ points in the plane. We prove that the number of empty squares with four contact pairs is between $Ω(n)$ and $O(n^2)$, and that these bounds are tight, provided $P$ is in a certain general position. A contact pair of a square is a pair of a point $p\in P$ and a side $\ell$ of the square with $p\in \ell$. The upper bound $O(n^2)$ also applies to the number of empty squares with four contact points, while we construct a point set among which there is no square of four contact points. These combinatorial results are based on new observations on the $L_\infty$ Voronoi diagram with the axes rotated and its close connection to empty squares in arbitrary orientation. We then present an algorithm that maintains a combinatorial structure of the $L_\infty$ Voronoi diagram of $P$, while the axes of the plane continuously rotates by $90$ degrees, and simultaneously reports all empty squares with four contact pairs among $P$ in an output-sensitive way within $O(s\log n)$ time and $O(n)$ space, where $s$ denotes the number of reported squares. Several new algorithmic results are also obtained: a largest empty square among $P$ and a square annulus of minimum width or minimum area that encloses $P$ over all orientations can be computed in worst-case $O(n^2 \log n)$ time.

研究动机与目标

• 确定在一般位置下 n 个点中具有四个接触对的空正方形的最大数量。
• 开发一种高效算法，以输出敏感时间计算出所有此类空正方形。
• 将研究成果应用于在改进的时间复杂度下解决最大空正方形和最小正方形环问题。
• 建立旋转轴下的 L∞ Voronoi 图与空正方形组合结构之间的联系。
• 构建一种数据结构，以 O(log n) 时间回答任意方向下的最大空正方形查询。

提出的方法

• 利用连续旋转坐标轴的 L∞ Voronoi 图来建模任意方向下的空正方形。
• 证明旋转后的 L∞ Voronoi 图的每个组合变化对应一个具有四个接触对的空正方形。
• 在 90 度旋转过程中保持旋转后 L∞ Voronoi 图的组合结构，从而捕获所有此类正方形。
• 使用持久数据结构存储不同方向下的 Voronoi 图，将空间使用量减少至 O(s⁴)，以支持查询处理。
• 将该框架应用于通过分析正弦函数的上包络线来计算最大空正方形和最小宽度/面积正方形环。
• 采用三阶 Davenport–Schinzel 序列来界定可能的空正方形半径上包络线的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般位置下，n 个点中最多可以存在多少个具有四个接触对的空正方形？
• RQ2 在坐标轴连续旋转过程中，如何高效地维护任意方向下空正方形的组合结构？
• RQ3 能否比已知的 O(n³) 时间更快地计算出任意方向下的最大空正方形？
• RQ4 在所有方向中，寻找一个包围给定点集的最小宽度或最小面积正方形环的计算复杂度是多少？
• RQ5 如何构建高效的数据库结构，以支持对任意方向下最大空正方形查询的 O(log n) 时间响应？

主要发现

• 具有四个接触对的空正方形数量在 Ω(n) 和 O(n²) 之间，且对于一般位置的点集，这两个界都是紧致的。
• 一种输出敏感算法可在 O(s∗ log n) 时间和 O(n) 空间内计算出所有此类正方形，其中 s∗ 为报告的正方形数量。
• 任意方向下的最大空正方形可在 O(n² log n) 时间内计算得出，优于先前的 O(n³) 算法。
• 可计算出包围点集的最小宽度或最小面积正方形环，时间复杂度为 O(n² log n)，优于先前的 O(n³) 和 O(n³ log n) 方法。
• 一种大小为 O(n²α(n)) 的数据结构可支持 O(log n) 时间内回答给定方向下的最大空正方形查询。
• 旋转后 L∞ Voronoi 图的总组合变化次数为 Θ(s∗)，建立了图动态变化与空正方形枚举之间的直接联系。