[论文解读] Encoding Cardinality Constraints using Generalized Selection Networks

Michał Karpiński, Marek Piotrów|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Rough Sets and Fuzzy Logic被引用 1

一句话总结

本文提出了两类新型广义选择网络——m-选择网络和m-奇偶选择网络，采用m-排序器（m ≥ 2）替代传统2-排序器（比较器）来更高效地编码布尔基数约束。通过将输入递归划分为m列，在每列中选择k个最大元素，并通过多路归并进行合并，该方法显著减少了CNF编码中的辅助变量和子句数量，从而在SAT求解性能上实现显著加速，尤其在k和n较大时效果更明显，实验表明4-奇偶选择网络优于当前最先进的编码方法。

ABSTRACT

Boolean cardinality constraints state that at most (at least, or exactly) $k$ out of $n$ propositional literals can be true. We propose a new class of selection networks that can be used for an efficient encoding of them. Several comparator networks have been proposed recently for encoding cardinality constraints and experiments have proved their efficiency. Those were based mainly on the odd-even or pairwise comparator networks. We use similar ideas, but we extend the model of comparator networks so that the basic components are not only comparators (2-sorters) but more general $m$-sorters, for $m \geq 2$. The inputs are organized into $m$ columns, in which elements are recursively selected and, after that, columns are merged using an idea of multi-way merging. We present two algorithms parametrized by $m \geq 2$. We call those networks $m$-Wise Selection Network and $m$-Odd-Even Selection Network. We give detailed construction of the mergers when $m=4$. The construction can be directly applied to any values of $k$ and $n$. The proposed encoding of sorters is standard, therefore the arc-consistency is preserved. We prove correctness of the constructions and present the theoretical and experimental evaluation, which show that the new encodings are competitive to the other state-of-art encodings.

研究动机与目标

• 开发一类新型选择网络，通过使用m-排序器（m ≥ 2）而非仅2-排序器来推广比较器网络，以编码基数约束。
• 减少基数约束CNF编码中的辅助变量与子句数量，提升SAT求解器的效率。
• 消除先前工作中在混合编码中对分裂点进行昂贵优化的需要。
• 通过标准m-扫描器编码保持弧一致性，确保与SAT求解器的兼容性。
• 在真实世界基准测试套件上评估新编码的实际性能，并与当前最先进的方法进行比较。

提出的方法

• 该方法采用分治策略：将输入划分为m列，利用m-排序器在每列中递归选择k个最大元素。
• 通过多路归并网络将每列选出的子序列进行合并，其中详细给出了m = 4时的构造方法。
• 引入两种不同的归并网络：4-并行归并网络（基于Gao等人提出的多路归并方法）与4-奇偶归并网络（对Batcher奇偶归并的推广）。
• m-排序器的编码方式为标准形式，保持弧一致性，支持高效的SAT求解。
• 该构造为参数化设计，适用于任意k和n，可与小规模子问题的直接编码集成。
• 该方法避免了先前工作对输入大小必须为2的幂次的限制，因而具有更广泛的应用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用广义的m-排序器（m ≥ 2）构建比传统2-排序器网络更高效的基数约束编码？
• RQ2 在m = 4时，使用多路归并是否能相比两列成对或奇偶归并网络，减少CNF编码中的变量与子句数量？
• RQ3 新编码是否能在无需昂贵分裂点优化的情况下实现更好的SAT求解器性能？
• RQ4 在k和n较大时，4-奇偶选择网络在变量与子句数量上是否比标准奇偶选择网络更高效？
• RQ5 广义选择网络方法是否能保持弧一致性，并支持SAT求解中的增量强化？

主要发现

• 对于足够大的k和n，4-奇偶选择网络相比标准奇偶选择网络，显著减少了CNF编码中的变量与子句数量。
• 在MSU4基准测试套件上，4-奇偶选择网络使SAT求解器运行时间缩短约2倍，且超时次数减少50%。
• 在MSU4套件上，4-并行选择网络优于PCN编码，总运行时间减少约18,000秒（5小时），超时次数减少75%。
• 在PB15套件上，4OE是最快编码，比CS编码快20,000秒以上，总运行时间与其他编码相差不足1%，但求解能力显著更优。
• cactus图显示，4OE在所有其他编码中始终能更快解决更多实例，尤其在MSU4上表现突出；4WISE为第二佳性能。
• 基于广义选择网络的编码在实践中表现出优越性能，实现显著加速并降低资源消耗，验证了其相对于现有最先进方法的实际优势。