[论文解读] Encoding points on hyperelliptic curves over finite fields in deterministic polynomial time

Jean-Gabriel Kammerer, Reynald Lercier+1 more|May 10, 2010

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出首个在有限域上对2阶超椭圆曲线的确定性多项式时间编码函数，基于具有根式根的可解多项式。通过利用伽罗瓦理论与代数参数化，实现了高效且安全的配对密码学编码，将先前针对椭圆曲线的工作扩展至具有可证明安全属性的高亏格曲线。

ABSTRACT

We present families of (hyper)elliptic curve which admit an efficient deterministic encoding function.

研究动机与目标

• 开发从有限域到超椭圆曲线上有理点的确定性、高效编码函数，尤其适用于密码学应用。
• 将此前仅限于椭圆曲线的Icart型编码扩展至2阶及更高亏格的超椭圆曲线。
• 确保编码在Brier等人定义的弱编码意义下成立，使得与密码学哈希函数组合后可实现与随机预言机的不可区分性。
• 识别出具有可解伽罗瓦群的曲线族，使得可通过根式实现代数参数化，从而实现点的确定性构造。
• 利用Kümmer理论与高于3次的可解多项式，将该方法推广至更高亏格曲线。

提出的方法

• 从具有可解伽罗瓦群的参数多项式（例如，三次或五次）出发，其根可用根式表达。
• 利用根的根式表达式，通过De Moivre型恒等式对曲线上的点进行代数参数化，尤其适用于高次方程。
• 通过求解辅助方程（如二次或五次方程）构造编码映射，其根可通过开方运算得到曲线上点的坐标。
• 对于2阶曲线，利用曲线 $ y^2 = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx + d $ 的结构，通过根式方法将点构造问题归约为可解五次方程的求解。
• 利用域条件如 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ 和 $ \gcd(q, 2g+1) = 1 $，确保幂映射的双射性，从而实现确定性开方运算。
• 通过组合编码映射得到的 $ g $ 个点来构造雅芬代数，利用取反检查消除碰撞，并通过伽罗瓦共轭保证 $ \mathbb{F}_q $-有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用代数参数化方法，基于可解多项式，构造出对有限域上2阶超椭圆曲线的确定性、多项式时间编码？
• RQ2 哪些类型的超椭圆曲线具有可解伽罗瓦群，使得其根可基于根式表达，从而实现点的构造？
• RQ3 如何利用Kümmer理论与可解多项式，将编码方法从椭圆曲线推广至更高亏格曲线？
• RQ4 在何种域条件下（如 $ q \equiv 2 \pmod{3} $）可使幂映射成为双射，从而实现确定性开方运算？
• RQ5 所提出的编码能否与哈希函数组合，以构造出与随机预言机不可区分的密码学哈希到曲线函数？

主要发现

• 本文首次实现了对有限域上2阶超椭圆曲线的确定性多项式时间编码，达成了关键密码学目标。
• 对于Hessian型椭圆曲线，通过三次根式解导出了新的编码映射，相较于Icart方法在特定曲线族上实现改进。
• 该方法可推广至 $ g \geq 2 $ 亏格，为具有基于 $ 2g+1 $ 次可解多项式的确定性代数编码的超椭圆曲线族提供了构造方法。
• 编码映射的像足够大，可被视为“弱编码”，使得与密码学哈希函数组合后可构造出与随机预言机不可区分的哈希函数。
• 编码高效，依赖于 $ q \equiv 2 \pmod{3} $ 和 $ \gcd(q, 2g+1) = 1 $ 等域条件，以确保幂映射的双射性，从而实现确定性开方。
• 提出了两种编码至雅芬代数的策略：直接编码至 $ \mathbb{F}_q $-有理点，以及基于扩展域 $ \mathbb{F}_{q^g} $ 的编码，再通过伽罗瓦共轭恢复 $ \mathbb{F}_q $-有理除子。