[论文解读] Encoding spatial data into quantum observables

Artur Sowa|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文提出了Q变换，这是一种将双周期广义函数映射到量子可观测量的酉同构，使开放量子系统动力学得以重新表述为经典非局部演化。论文在Sobolev空间中证明了初值问题的适定性，并识别出一种新现象——宽带冗余，其与黎曼ζ函数零点的均匀分布相关，对量子信息稳定性及经典-量子混合系统具有启示意义。

ABSTRACT

The focus of this work is a correspondence between the Hilbert space operators on one hand, and doubly periodic generalized functions on the other. The linear map that implements it, referred to as the Q-transform, enables a direct application of the classical Harmonic Analysis in a study of quantum systems. In particular, the Q-transform makes it possible to reinterpret the dynamic of a quantum observable as a (typically nonlocal) dynamic of a classical observable. From this point of view we carry out an analysis of an open quantum system whose dynamics are governed by an asymptotically harmonic Hamiltonian and compact type Lindblad operators. It is established that the initial value problem of the equivalent nonlocal but classical evolution is well posed in the appropriately chosen Sobolev spaces. The second set of results pertains to a generalization of the basic Q-transform and highlights a certain type of asymptotic redundancy. This phenomenon, referred to as the broadband redundancy, is a consequence of a well-known property of the zeros of the Riemann zeta function, namely, the uniform distribution modulo one of their ordinates. Its relevance to the analysis of quantum dynamics is only a special instance of its utility in harmonic analysis in general. It remains to be seen if the phenomenon is significant also in the physical sense, but it appears well-justified---in particular, by the results presented here---to pose such a question.

研究动机与目标

• 通过Q变换在量子可观测量与双周期广义函数之间建立严格的数学对应关系。
• 分析由渐近谐振哈密顿量和紧致型林德布拉德算符控制的开放量子系统动力学的适定性。
• 研究Sobolev型范数在量子演化过程中保持正则性的作用。
• 利用非正交基推广Q变换，并揭示一种新现象：宽带冗余。
• 评估宽带冗余在量子动力学中的物理相关性及其对量子信息处理的潜在影响。

提出的方法

• 将Q变换定义为希尔伯特空间算子与双周期广义函数之间的可逆线性映射。
• 利用Q变换将具有本质谐振哈密顿量的海森堡方程转化为具有恒定速度漂移的一阶偏微分方程。
• 在二维环面上使用Sobolev空间，借助其与傅里叶级数的联系进行正则性分析。
• 建立Q变换诱导的紧算子上范数的次乘性，改进希尔伯特-施密特范数的性质。
• 在$L_2[0,1]$中使用非正交基推广Q变换，以研究宽带冗余。
• 应用关于非平凡黎曼ζ函数零点纵坐标模1均匀分布的结果，推导收敛性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有渐近谐振哈密顿量的开放系统中量子可观测量的动力学重新表述为经典非局部演化？
• RQ2 通过Q变换导出的经典非局部演化初值问题在Sobolev空间中是否适定？
• RQ3 在广义Q变换中观察到的宽带冗余现象的本质及其起源是什么？
• RQ4 黎曼ζ函数零点的分布如何与广义Q变换的收敛性特征相关联？
• RQ5 Q变换框架能否实现经典空间数据在量子系统中的稳定编码与处理？

主要发现

• 通过Q变换导出的经典非局部演化初值问题在适当的Sobolev空间中是适定的，如定理1所确立。
• Q变换在演化过程中保持了量子可观测量的Sobolev正则性，表明量子信息具有潜在可压缩性。
• 广义Q变换向标准Q变换的收敛速度在$\ell_2(\mathbb{Z}^2)$-范数下依赖于$f$的$2\alpha$-范数，当$\sigma > \alpha + 1$时收敛速度为$O(1/\log T)$。
• 宽带冗余现象源于非平凡黎曼ζ函数零点纵坐标模1的均匀分布，如定理2和定理3所形式化。
• 广义Q变换的收敛性受以下表达式有界：$\left(\frac{C}{\log T}\zeta''(2(\sigma - \alpha) - 1)\right)^2\|f\|_{2\alpha}^2 \sum_{k \neq 0} |k|^{-2\alpha} \sum_{l \neq 0} |l|^{-2\alpha}$，当$\alpha > 1/2$时该表达式有限。
• Q变换在对称性处理和傅里叶变换维度上与Wigner变换不同，尽管可进行平面扩展。