[论文解读] Endgames in bidding chess

Urban Larsson, Johan Wästlund|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2017

Artificial Intelligence in Games参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过为每个位置分配表示强制获胜或避免失败所需最小资金比例的有理数上界和下界值，分析了竞标国际象棋——一种玩家通过筹码竞标步序的变体。对于所有三子残局，这些值完全一致，揭示了即使在极简子力下也存在深层复杂性，其分母最大可达138位数字。

ABSTRACT

Bidding chess is a chess variant where instead of alternating play, players bid for the opportunity to move. Generalizing a known result on so-called Richman games, we show that for a natural class of games including bidding chess, each position can be assigned rational upper and lower values corresponding to the limit proportion of money that Black (say) needs in order to force a win and to avoid losing, respectively. We have computed these values for all three-piece endgames, and in all cases, the upper and lower values coincide. Already with three pieces, the game is quite complex, and the values have denominators of up to 138 digits.

研究动机与目标

• 确定竞标国际象棋残局中玩家强制获胜或避免失败所需的精确资金比例阈值。
• 研究在三子残局中上界与下界值是否一致，以判断是否存在明确的获胜阈值。
• 探索在连续竞标机制下，即使子力极少，竞标国际象棋的结构复杂性。
• 考察棋盘大小与子力配置对值计算及非平凡Richman区间存在性的影响。

提出的方法

• 将Richman博弈理论应用于竞标国际象棋，将游戏建模为连续极限过程，其中玩家可出任意实数额资金进行竞标。
• 利用竞标游戏与随机行动游戏之间的等价性，其中行动顺序由公平硬币抛掷决定，推导出递归值方程。
• 通过方程 α(P) = (α(P_w) + α(P_b)) / 2 实现递归值计算，其中 P_w 和 P_b 分别为白方与黑方最优走法后的局面。
• 使用动态规划与符号计算，精确计算所有三子残局的有理数值，处理最大达138位数字的分母。
• 分析非二进制值局面，以检测在最优玩法下可能出现的无限循环局面，尤其在小尺寸棋盘上。
• 考虑替代竞标机制（公开出价与秘密出价）及平局规则，表明在连续极限下其影响可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 竞标国际象棋的所有三子残局是否都具有完全一致的上界与下界值，表明存在明确的获胜阈值？
• RQ2 竞标国际象棋的值函数结构如何？与随机行动游戏的值相比有何异同？
• RQ3 竞标国际象棋残局的复杂性如何随棋盘大小与子力配置而变化？
• RQ4 三子残局中是否存在非平凡的Richman区间（α < β）？还是始终为明确阈值？
• RQ5 在非二进制有理数值局面中，无限循环局面起何种作用？

主要发现

• 在8×8棋盘的所有三子残局中，上界与下界值完全一致，表明存在明确的获胜阈值。
• 三子残局计算所得的值具有有理数形式，其分母最大可达138位数字，反映出极高的游戏复杂性。
• 在王后与兵对王的残局中，值恰好为3/4，意味着白方至少需要总资金的3/4才能强制获胜。
• 兵升变为马有时可获得高于升变为后的值，例如在某位置中，马升变的值为205/256 ≈ 0.80078。
• 在较小棋盘（如3×4或4×4）上，出现非二进制值如653/819与31/48，表明在最优玩法下可能存在无限循环。
• 存在 α < β 的局面（例如对称的兵墙结构，其中 α ≤ 1/4 且 β ≥ 3/4），表明在较大子力局面中存在非平凡的Richman区间。