[论文解读] Endomorphisms and automorphisms of minimal symbolic systems with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Cellular Automata and Applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于具有次线性复杂度的极小符号系统，单边移位的自同构群是有限的，且双边移位的自同构群模平移也是有限的。论文给出了自同构阶数的显式上界，并表明任意线性重复移位的自同态都是平移幂的根，推广了已知的关于Sturmian和替换移位的结果。

ABSTRACT

We show that if the complexity difference function p(n+1)-p(n) of a infinite minimal shift is bounded, then the the automorphism group of the one-sided shift is finite, and the automorphism group of the corresponding two-sided shift "modulo the shift" is finite. For the minimal Sturmian and minimal substitution shifts, the bounds can be explicitly computed, and for linearly recurrent shifts, the bound can be expressed as a function of the linear recurrence constant. We also show that any endomorphism of a linearly recurrent shift is a root of a power of the shift map.

研究动机与目标

• 确定具有次线性复杂度的极小符号系统的自同构群的有限性及其显式上界。
• 将已知的关于Sturmian和替换移位自同构的结果推广到更广泛的具有次线性复杂度的系统类别。
• 刻画单边线性重复移位的自同态，表明它们是平移映射幂的根。
• 基于分支点和渐近轨道等结构不变量，提供自同构阶数的可计算上界。

提出的方法

• 利用Cassaigne关于复杂度差函数的结果，对分支点和右渐近轨道的数量进行上界估计。
• 应用引理3.2和3.3，表明自同构由其在特殊点集合（分支点和渐近轨道）上的作用所决定。
• 在关系∼下定义右渐近轨道的等价类，以分析双边自同构群模平移。
• 利用常数K下的线性重复性概念，推导出自同构阶数的定量上界。
• 利用Durand（2000）的结果（即线性重复移位的自同态是自同构），将双边系统的结果推广至单边系统。
• 采用局部规则和替换可识别性来分析具体例子，并验证上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有次线性复杂度的极小单边移位中，自同构的最大可能阶数是多少？
• RQ2 分支点和右渐近轨道的结构如何限制模平移的自同构群的大小？
• RQ3 单边线性重复移位的自同态能否被刻画为平移映射幂的根？
• RQ4 能否基于重复常数或替换结构，导出自同构群大小的显式上界？
• RQ5 是否存在自同态不是平移的幂，但满足Φ² = σ²的关系？

主要发现

• 对于具有次线性复杂度的极小单边移位，自同构群是有限的，其阶数至多为任意k ≥ 2阶的分支点数的最小值。
• 对于双边版本，自同构群模平移是有限的，其大小至多为任意k ≥ 2阶的右渐近轨道∼等价类数的最小值。
• 对于具有重复常数K的线性重复移位，自同构群的大小被限制为2(K+1)(2K+3)²，且该上界同时适用于单边和双边系统。
• 任意单边线性重复移位的自同态都是平移映射某次幂的k次根，其中k ≤ 2(K+1)(2K+3)²。
• 存在并非平移幂的自同态，但满足Φ² = σ²，表明该上界无法进一步收紧至要求Φ必须是σ的幂。
• 对于k个字母上的本原替换移位，自同构群模平移的大小至多为k²，与一般上界一致。