[论文解读] Endomorphisms of B(H)

Ola Bratteli, Palle E. T. Jørgensen+1 more|ArXiv.org|Aug 29, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文通过利用Cuntz代数$\mathcal{O}_n$的表示，建立了索引$n \geq 2$的移位的共轭类与UHF代数$M_{n^\infty}$上纯态等价类之间的对应关系，对可分希尔伯特空间上有界算子代数$\mathcal{B}(\mathcal{H})$的单位元自同态进行了分类。关键贡献在于通过$P/\sim$对共轭类进行了完全标记，其中$P$是$M_{n^\infty}$上纯态的集合，$\sim$是一个非光滑等价关系，证明了存在不可数无穷多个无不变向量态的非共轭移位。

ABSTRACT

The unital endomorphisms of B(H) of (Powers) index n are classified by certain U(n)-orbits in the set of non-degenerate representations of the Cuntz algebra O_n on H. Using this, the corre- sponding conjugacy classes are identified, and a set of labels is given. This set is given as P modulo a certain non-smooth equivalence, where P is a set of pure state on the UHF algebra of Glimm type n^infinity. Several subsets of P, giving concrete examples of non- conjugate shifts, are worked out in detail, including sets of product states, and a set of nearest neighbor states.

研究动机与目标

• 对$\mathcal{B}(\mathcal{H})$的索引$n \geq 2$的单位元自同态的共轭类进行分类，特别是对移位进行分类。
• 解决一个开放问题：索引$n \geq 2$的移位是否可能不存在不变向量态。
• 利用$M_{n^\infty}$上的纯态与一个非光滑等价关系，对共轭类提供完全标记。
• 通过Cuntz代数$\mathcal{O}_n$的表示扩展自同态的分类，并应用冯·诺依曼和普瓦尔斯的奠基性思想。

提出的方法

• 通过$U(n)$-轨道，建立$\mathcal{B}(\mathcal{H})$的索引$n$的单位元自同态与$\mathcal{H}$上Cuntz代数$\mathcal{O}_n$的非退化表示之间的对应关系。
• 在移位的共轭类上构造Borel结构，证明其不是可数分离的。
• 将标记空间定义为$P/\sim$，其中$P$是UHF代数$M_{n^\infty}$上纯态的集合，$\sim$是一个非光滑等价关系。
• 利用$M_{n^\infty} = \bigotimes_{k=-\infty}^{\infty} M_n$的无限张量积结构，通过希尔伯特空间张量积上的双侧右移来建模移位动力学。
• 利用冯·诺依曼1938年的研究及古什查尔代的拓展，构造出无不变向量态的移位的显式例子。
• 应用自同态与自同构的理论，将一个移位$\alpha$扩展为更大空间$H' \otimes \mathcal{H}$上的$*$-自同构$\beta$，并保持$\alpha$的渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用代数不变量对$\mathcal{B}(\mathcal{H})$的索引$n \geq 2$的单位元自同态的共轭类进行分类？
• RQ2 在$\mathcal{B}(\mathcal{H})$上是否存在索引$n \geq 2$的移位，其不具有任何不变向量态？
• RQ3 此类移位的共轭类结构如何？能否通过纯态上的良好定义的等价关系进行参数化？
• RQ4 移位的渐近性质与遍历性质如何与UHF代数$M_{n^\infty}$及其态空间的结构相关联？
• RQ5 共轭类的分类能否配备一个不是可数分离的Borel结构？

主要发现

• 移位$\operatorname{Shift}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$的共轭类与商空间$P/\sim$之间存在一一对应关系，其中$P$是UHF代数$M_{n^\infty}$上纯态的集合，$\sim$是一个非光滑等价关系。
• $\operatorname{End}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$、$\operatorname{Erg}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$和$\operatorname{Shift}_n(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$中自同态的共轭类均具有自然的Borel结构，且该结构不是可数分离的。
• 存在不可数无穷多个非共轭的索引$n \geq 2$的移位，通过在乘积态和最近邻态集合中构造显式例子得以证明。
• 提供了无不变向量态的移位的显式构造，解决了普瓦尔斯在[Pow2]中遗留的开放问题。
• 移位动力学可扩展为在更大希尔伯特空间$H' \otimes \mathcal{H}$上的$*$-自同构$\beta$，其中$\beta$在$M_n$-因子上作用为双侧右移，保持$\alpha$的渐近结构。
• 该分类基于Cuntz代数$\mathcal{O}_n$的表示理论，关键洞见在于$\mathcal{B}(\mathcal{H})$上$\alpha$-不变态与$M_{n^\infty}$上$\mathcal{O}_n$-不变态之间存在对应关系。