[论文解读] Endomorphisms of B(H), extensions of pure states, and a class of representations of O_n

Neal J. Fowler, Marcelo Laca|ArXiv.org|Sep 26, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文通过其固定点代数 $F_n$ 的纯态 $\rho$ 和 $C(T)$ 的表示 $\theta$，构建了 Cuntz 代数 $O_n$ 的一类表示，实现了对所有扩展 $\rho$ 的 $O_n$ 态的完整参数化。关键结果是通过 $F_n$ 的纯态上的等价关系，对 $B(H)$ 的遍历自同态进行了共轭分类，该结果推广了关于 Powers 移位的早期工作，并应用于周期性纯乘积态及几何共轭不变量。

ABSTRACT

Let F_n be the fixed-point algebra of the gauge action of the circle on the Cuntz algebra O_n. For every pure state ρof F_n and every representation θof C(T) we construct a representation of O_n, and we use the resulting class of representations to parameterize the space of all states of O_n which extend ρ. We show that the gauge group acts transitively on the pure extensions of ρand that the action is p-to-1 with p the period of ρunder the usual shift. We then use the above representations of O_n to construct endomorphisms of B(H) which we classify up to conjugacy in terms of the parameters ρand θ. In particular our construction yields every ergodic endomorphism αwhose tail algebra $\bigcap_kα^k(B(H))$ has a minimal projection, and our results classify these ergodic endomorphisms by an equivalence relation on the pure states of F_n. As examples we analyze the ergodic endomorphisms arising from periodic pure product states of F_n, for which we are able to give a geometric complete conjugacy invariant, generalizing results of Stacey, Laca, and Bratteli-Jorgensen-Price on the shifts of Powers.

研究动机与目标

• 参数化所有扩展给定纯态 $\rho$ 的 Cuntz 代数 $O_n$ 的态，其中 $\rho$ 是其固定点代数 $F_n$ 的纯态。
• 利用所构造的 $O_n$ 表示，对 $B(H)$ 的遍历自同态进行共轭分类。
• 通过 $F_n$ 的周期性纯乘积态构造的遍历自同态，推广关于 Powers 移位的结果，提供一个几何共轭不变量。
• 分析规范群对 $\rho$ 的纯扩展的作用，证明其传递性及 $p$ 对 $1$ 映射，其中 $p$ 是 $\rho$ 在移位自同构下的周期。

提出的方法

• 通过将 $F_n$ 上的纯态 $\rho$ 与 $C(T)$（圆群）的表示 $\theta$ 结合，构造 $O_n$ 的表示。
• 利用所得表示，参数化所有扩展 $\rho$ 的 $O_n$ 态，建立双射对应关系。
• 分析规范群对 $\rho$ 的纯扩展的作用，证明其传递性，并计算作用的度为 $p$，即 $\rho$ 在移位自同构下的周期。
• 从 $O_n$ 表示构造 $B(H)$ 的自同态，证明当尾代数包含极小投影时，这些自同态是遍历的。
• 利用由规范作用诱导的 $F_n$ 纯态上的等价关系，对这些自同态进行共轭分类。
• 对于 $F_n$ 的周期性纯乘积态，推导出一个几何共轭不变量，推广了 Stacey、Laca 以及 Bratteli-Jorgensen-Price 的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $O_n$ 的表示，参数化所有扩展给定 $F_n$ 纯态 $\rho$ 的 $O_n$ 态？
• RQ2 规范群对 $\rho$ 的纯扩展的作用结构如何？其与 $\rho$ 的周期有何关联？
• RQ3 所构造的 $O_n$ 表示生成了哪些 $B(H)$ 自同态？如何对它们进行共轭分类？
• RQ4 由 $F_n$ 的周期性纯乘积态生成的遍历自同态的共轭不变量是什么？
• RQ5 这些结果如何推广在 $O_n$ 表示和 $B(H)$ 自同态背景下对 Powers 移位的分类？

主要发现

• 规范群在任意 $F_n$ 纯态 $\rho$ 的纯扩展上作用传递，且作用为 $p$ 对 $1$，其中 $p$ 是 $\rho$ 在移位自同构下的周期。
• 每个尾代数 $\bigcap_k \alpha^k(B(H))$ 中包含极小投影的遍历自同态 $\alpha$，均来自使用 $F_n$ 的纯态 $\rho$ 和 $C(T)$ 的表示 $\theta$ 的构造。
• $O_n$ 中所有扩展 $\rho$ 的态的集合，完全由基于 $\rho$ 和 $\theta$ 构造的 $O_n$ 表示参数化，建立了双射对应。
• $B(H)$ 的遍历自同态的共轭分类，等价于由规范作用诱导的 $F_n$ 纯态上的等价关系。
• 对于 $F_n$ 的周期性纯乘积态，本文提供了一个几何共轭不变量，推广了先前关于 Powers 移位的结果。
• 该构造给出了所有尾代数包含极小投影的此类遍历自同态，从而在该情形下建立了完全分类。