[论文解读] Endomorphisms of hypersurfaces and other manifolds

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Aug 28, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文通过基于扭曲余切丛的陈类与Amerik、Rovinsky和Van de Ven的技巧的上同调论证，证明了维度 $ n \geq 2 $ 且次数 $ d \geq 3 $ 的光滑超曲面不具有次数大于1的自同态。关键结果解决了超曲面的自同态问题，并推广至法诺流形，表明仅在 Kodaira 维数为 $ -\infty $ 的流形上才可能存在分支自同态，且对德尔佩佐曲面给出了完整分类。

ABSTRACT

We prove that a smooth hypersurface of degree >2 and dimension >1 admits no endomorphism of degree >1 (for hyperquadrics this is due to Paranjape and Srinivas). We then collect some general results on endomorphisms of projective manifolds; we prove in particular that ramified endomorphisms occur only on varieties of negative Kodaira dimension, and we classify those Del Pezzo surfaces which admit such endomorphism.

研究动机与目标

• 解决关于维度 $ n \geq 2 $ 且次数 $ d \geq 3 $ 的光滑超曲面是否具有次数大于1的自同态这一长期悬而未决的问题。
• 将自同态的分析扩展至一般射影流形，尤其关注Kodaira维数与分支性的作用。
• 对德尔佩佐曲面与法诺三倍曲面的自同态进行分类，尤其关注正Kodaira维数与分支映射的情形。
• 确立分支自同态仅可能存在于Kodaira维数为 $ -\infty $ 的流形上，并探讨其对法诺流形的含义。

提出的方法

• 通过自同态 $ f $ 拉回下对 $ \Omega^1_X(2) $ 的截面孤立零点计数，导出上同调不等式，从而得到 $ c_n(\Omega^1_X(2)) $ 的上界。
• 应用Amerik、Rovinsky与Van de Ven的结果：$ c_n(\Omega^1_X(2)) \leq 2^n \deg(X) $，且等式仅在特殊情形成立。
• 利用在 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 与 $ X $ 上的正合列，通过有理微分形式的留数计算陈类 $ c_n(\Omega^1_X(2)) $。
• 使用留数定理将陈类表示为留数之和，从而得到以 $ d $ 与 $ n $ 表示的显式公式。
• 应用Hurwitz公式与除子类关系分析分支自同态，尤其关注德尔佩佐曲面的情形。
• 利用上同调上 $ f^* $ 与 $ d^{-1}f_* $ 之间的对偶性，证明次数大于1的自同态必须保持多重canonical系统，并在其像上诱导自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 维度 $ n \geq 2 $ 且次数 $ d \geq 3 $ 的光滑超曲面是否具有次数大于1的自同态？
• RQ2 次数大于1的自同态的存在性与射影流形的Kodaira维数之间有何关系？
• RQ3 在 $ b_2 = 1 $ 的情形下，哪些法诺流形具有次数大于1的自同态？
• RQ4 分支自同态是否可能存在于Kodaira维数 $ \geq 0 $ 的流形上？若不可能，原因是什么？
• RQ5 德尔佩佐曲面具有次数大于1的自同态的精确条件是什么？

主要发现

• 维度 $ n \geq 2 $ 且次数 $ d \geq 3 $ 的光滑超曲面不具有次数大于1的自同态。
• 此类超曲面的陈类 $ c_n(\Omega^1_X(2)) $ 满足 $ c_n(\Omega^1_X(2)) > 2^n \deg(X) $，这与自同态拉回导出的上界矛盾。
• 对于德尔佩佐曲面，存在次数大于1的自同态当且仅当 $ K_S^2 \geq 6 $，对应于 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 或在至多三个点上进行的 $ \mathbb{P}^2 $ 的 blown-up。
• 分支自同态仅可能出现在Kodaira维数为 $ -\infty $ 的流形上，因为否则多重canonical系统无法支持此类映射。
• 对于满足 $ \kappa(S) \geq 0 $ 的曲面，任何次数大于1的自同态必为无分支的，且此类曲面要么是阿贝尔曲面，要么是 $ (E \times C)/G $ 的商曲面，其中 $ E $ 为椭圆曲线，$ C $ 为亏格 $ \geq 1 $ 的曲线。
• 在 $ b_2 = 1 $ 的法诺三倍曲面情形下，唯一具有次数大于1自同态的是 $ \mathbb{P}^3 $，此结论由 [A] 与 [ARV] 的先前结果所证实。