[论文解读] Energy-based ghost force removing techniques for the quasicontinuum method

Ping Lin, Alexander V. Shapeev|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Force Microscopy Techniques and Applications参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文提出了一种准连续投影（QCP）方法，这是一种基于能量的技巧，通过将原子自由度投影到类似有限元的节点框架上，消除了准连续（QC）模拟中局部-非局部界面处的鬼力。QCP方法在准确度上与现有方法（如QNL和GCR）相当或更优，误差更低或相等，计算成本相同，且由于其基于标准有限元理论且无自由参数，因此实现和分析更为简便。

ABSTRACT

This paper studies numerical methods for accurate treatment of the interface between the local and the nonlocal region in a QC approximation of atomistic materials. Only the energy-based methods are considered. Particularly, a quasicontinuum projection (QCP) method based on the idea of finite elements is shown to be accurate and efficient for this problem. We analyse the QCP method and study its relation to the existing methods, such as the quasinonlocal quasicontinuum method and the geometrically consistent reconstruction-based method. The analysis and the results of numerical tests confirm that the projection-based QC method successfully removes the ghost force with the same computational cost as the other methods. In all computed examples the error of QCP is either the same or lower as the error of the other methods. The performance of these methods in treating interfaces of elements in the local region is also examined.

研究动机与目标

• 为解决准连续（QC）方法中局部-非局部界面处持续存在的鬼力问题，该问题会损害原子-连续多尺度模拟的准确性。
• 开发一种基于能量的方法，消除鬼力而不引入虚假力或违反能量守恒。
• 提高QC模拟的准确性，特别是在界面误差因Cauchy-Born外推而更显著的二维情形下。
• 提供一种比现有方法（如GCR）更易实现和分析的方法，无需依赖问题特定的参数。
• 证明QCP方法在收敛速率和误差水平上可达到或超越最先进的方法（如QNL和GCR）的性能。

提出的方法

• QCP方法使用类似有限元的框架，将原子自由度投影到节点点上，从而实现一致的能量基公式化。
• 通过将非节点原子位置表示为节点原子位置的线性组合，表达系统的总势能，确保能量一致性。
• 通过在投影能量上应用变分原理，推导出力和刚度矩阵，从而在界面处避免鬼力。
• 避免在局部区域使用Cauchy-Born外推，从而减少边缘和界面误差，尤其在二维情形下，扰动衰减缓慢（如1/r）。
• QCPm变体允许在局部区域使用Cauchy-Born外推以提高效率，同时保持界面精度。
• 该方法在数学上基于有限元理论，可通过近似误差理论进行收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于能量的方法能否在不引入虚假力的情况下，有效消除QC模拟中局部-非局部界面处的鬼力？
• RQ2 在1D和2D测试案例中，QCP方法与QNL和GCR方法相比，在准确度和计算成本方面表现如何？
• RQ3 在局部区域避免使用Cauchy-Born外推是否能显著减少界面误差，尤其是在二维情形下？
• RQ4 鉴于QCP方法无自由参数且依赖标准有限元概念，其是否比GCR方法更易于实现和分析？
• RQ5 QCP方法能否推广至具有非均匀晶格的复杂材料（如金属合金）？

主要发现

• QCP方法成功在局部-非局部界面处消除了鬼力，计算成本与QCE、QNL和GCR方法相同。
• 在所有数值算例中，QCP方法的误差要么与QCE和QNL相当，要么更低；在二维情形下，误差与GCR相当或更低。
• 随着自由度（DoF）的增加，QCP方法表现出稳定的误差衰减，而QCE和QNL方法则无法收敛至零。
• 在二维模拟中，由于边缘和界面误差减少，QCP方法优于使用Cauchy-Born外推的方法，尤其在扰动衰减缓慢（如1/r）的区域。
• QCP方法在数学上等价于GCR方法的特定实例，但实现和分析更为简便，因其无需预先计算的重构系数或界面距离计算。
• QCPm变体在局部区域使用Cauchy-Born外推，其结果与GCR基本一致，但实现更简便且更具通用性。