[论文解读] Energy conservation in the 3D Euler equations on $\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$

James C. Robinson, José L. Rodrigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在具有有限测度平坦边界的空间 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上，建立了三维不可压缩欧拉方程弱解的能量守恒。通过将解延拓至全空间 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$，并应用速度增量条件——$\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$——以及边界处的连续性和无通量条件，作者证明了动能守恒，将奥恩斯格尔型结果推广至具有边界的区域。

ABSTRACT

The aim of this paper is to prove energy conservation for the incompressible Euler equations in a domain with boundary. We work in the domain $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}_+$, where the boundary is both flat and has finite measure. However, first we study the equations on domains without boundary (the whole space $\mathbb{R}^3$, the torus $\mathbb{T}^3$, and the hybrid space $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$). We make use of some of the arguments of Duchon \& Robert ({\it Nonlinearity} {\bf 13} (2000) 249--255) to prove energy conservation under the assumption that $u\in L^3(0,T;L^3(\mathbb{R}^3))$ and one of the two integral conditions \begin{equation*} \lim_{|y| o 0}\frac{1}{|y|}\int^T_0\int_{\mathbb{R}^3} |u(x+y)-u(x)|^3\,d x\,d t=0 \end{equation*} or \begin{equation*} \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|u(x)-u(y)|^3}{|x-y|^{4+δ}}\,d x\,d y0, \end{equation*} the second of which is equivalent to requiring $u\in L^3(0,T;W^{α,3}(\mathbb{R}^3))$ for some $α>1/3$. We then use the first of these two conditions to prove energy conservation for a weak solution $u$ on $D_+:=\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$: we extend $u$ a solution defined on the whole of $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$ and then use the condition on this domain to prove energy conservation for a weak solution $u\in L^3(0,T;L^3(D_+))$ that satisfies \begin{equation*} \lim_{|y| o 0} \frac{1}{|y|}\int^{T}_{0}\iint_{\mathbb{T}^2}\int^\infty_{|y|}|u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \,d x_3 \,d x_1 \,d x_2 \,d t=0, \end{equation*} and certain continuity conditions near the boundary $\partial D_+=\{x_3=0\}$.

研究动机与目标

• 在具有边界的区域 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上，建立不可压缩欧拉方程弱解的能量守恒。
• 将已知的在无界区域（如 $\mathbb{R}^3$ 和 $\mathbb{T}^3$）中的能量守恒准则，推广至具有平坦且有限测度边界的区域。
• 证明在 $\mathbb{R}^3$ 上已知的最弱能量守恒条件——涉及 $L^3$ 范数的速度增量条件——在与边界连续性结合时依然充分。
• 证明能量守恒结果在更高余维区域（如 $\mathbb{T}^{d-1} \times \mathbb{R}_+$，$d \geq 2$）中依然成立。

提出的方法

• 通过在边界 $x_3 = 0$ 处进行奇对称反射，将定义在 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上的弱解延拓至全空间 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$。
• 将速度增量条件 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 应用于延拓后的解。
• 利用该条件在 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ 上蕴含能量守恒的事实，该结论由杜尚与罗伯特（2000）及什维德科伊（2009）建立。
• 通过利用 $u$ 在 $x_3 = 0$ 附近有界且连续的性质，包括无通量条件 $u \cdot n = 0$，分析边界区域 $|x_3| \leq |y|$ 的贡献。
• 应用控制收敛定理，证明在边界层中极限与积分可交换，从而表明该贡献在 $|y| \to 0$ 时趋于零。
• 在假设 $u \in L^3(0,T;L^\infty(\mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ 且 $u(\cdot,t) \in C_{\partial D_+}$ 几乎处处成立 $t$ 的条件下，建立能量平衡成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平坦边界的区域中，欧拉方程中已知最弱的能量守恒条件（基于速度增量）是否仍然有效？
• RQ2 能否在类似于 $\mathbb{R}^3$ 的条件下，于 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上建立弱解的能量守恒？
• RQ3 当解在边界处不光滑时，如何控制能量守恒证明中的边界效应？
• RQ4 条件 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 是否足以保证在 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上的能量守恒？
• RQ5 通过反射方法将解延拓，是否可将无界区域中的能量守恒结果推广至有界区域？

主要发现

• 在 $D_+ = \mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 上，对于满足条件 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 的弱解 $u \in L^3(0,T;L^3(D_+))$，能量是守恒的。
• 由于 $u$ 在边界处的连续性以及无通量条件 $u \cdot n = 0$，边界贡献在 $|y| \to 0$ 时趋于零，这确保了延拓解 $u_E$ 在 $x_3 = 0$ 处连续。
• 证明的关键在于将能量增量划分为三个区域：$x_3 > |y|$，$x_3 < -|y|$，以及 $|x_3| \leq |y|$，其中边界区域为关键情形。
• $u$ 在 $L^3(0,T;L^\infty(\mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ 中的有界性使得可以使用控制收敛定理，将极限操作移入时间积分内部。
• 该结果可推广至 $\mathbb{T}^{d-1} \times \mathbb{R}_+$（$d \geq 2$）的区域，表明该方法与维度无关。
• 条件 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 等价于在无边界情况下的最弱已知能量守恒准则。