[论文解读] Energy conservation via a combination of velocity and its gradient in the Navier-Stokes system

Yan Qing Wang, Yulin Ye|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过在勒贝格空间中结合速度及其空间梯度，为不可压缩与可压缩纳维-斯托克斯方程建立了一个统一的能量守恒准则。证明了若速度及其梯度满足特定可积性条件，则能量等式成立，从而扩展并统一了此前针对不可压缩与可压缩流体的成果。

ABSTRACT

In the spirit of recent work \cite{[NNT]},it is shown that $v\in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^{3})) $ and $ abla v\in L^{p}(0,T; L^{q}(\mathbb{T}^{3})) $ imply the energy equality in homogeneous incompressible Navier-Stokes equations and together with bounded density with positive lower bound yields the energy conservation in the general compressible Navier-Stokes equations. This unifies the known energy conservation criteria via the velocity and its gradient in incompressible Navier-Stokes equations. This also helps us to extend the conditions via the velocity or gradient of the velocity for energy equality from the incompressible fluid to compressible flow and improves the recent results due to Nguyen-Nguyen-Tang \cite[Nonlinearity 32 (2019)]{[NNT]} and Liang \cite[Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2020)]{[Liang]}.

研究动机与目标

• 基于速度及其梯度，统一现有不可压缩纳维-斯托克斯方程的能量守恒准则。
• 在密度有正下确界且有界的条件下，将这些准则扩展至可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 改进Nguyen-Nguyen-Tang（2019）和Liang（2020）关于能量等式条件的近期成果。
• 在勒贝格空间中利用速度与梯度的联合正则性，建立能量守恒的一般框架。

提出的方法

• 使用勒贝格空间的可积性条件：$ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ 与 $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $。
• 应用泛函分析技术，从这些可积性假设推导出能量等式。
• 通过引入具有正下确界的有界密度，将不可压缩框架扩展至可压缩流体。
• 利用插值与嵌入定理，将速度与梯度正则性与能量守恒联系起来。
• 依赖周期域 $ \mathbb{T}^3 $ 中纳维-斯托克斯方程的结构，以确保数学上的封闭性。
• 将先前工作的成果（如 [NNT]、[Liang]）整合为一个统一且连贯的准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结合速度及其梯度正则性的单一条件，统一不可压缩纳维-斯托克斯方程中现有的能量守恒准则？
• RQ2 能量守恒准则如何从不可压缩流体扩展至可压缩纳维-斯托克斯流体？
• RQ3 在密度有界的情况下，速度及其梯度的何种可积性条件可确保可压缩情况下的能量等式？
• RQ4 速度与梯度的联合正则性在何种程度上优于以往的单独准则？
• RQ5 具有正下确界的有界密度的引入，如何影响可压缩流体中的能量守恒？

主要发现

• 若 $ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ 且 $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $，则不可压缩纳维-斯托克斯方程中能量等式成立，其中 $ p, q $ 为适当取值。
• 相同的条件，若再结合具有正下确界的有界密度，则可确保可压缩纳维-斯托克斯方程中的能量守恒。
• 所提出的准则统一并推广了Nguyen-Nguyen-Tang与Liang针对能量等式所得的先前结果。
• 该框架将能量守恒准则的适用范围从不可压缩流体扩展至可压缩流体。
• 结果表明，即使在可压缩性存在的情况下，速度与梯度的联合正则性也足以保证能量守恒。