[论文解读] Energy conserving nonholonomic integrators

Jorge Cortés|ArXiv.org|Sep 24, 2002

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过在非自治系统中引入离散版的Lagrange-d'Alembert原理，将离散力学扩展至非完整系统，提出了一类能量守恒的非完整积分器。该方法构建了能够同时保持辛结构、非完整动量和能量的变分积分器——克服了固定时间步长下无法同时守恒能量、辛结构和动量的理论障碍。

ABSTRACT

We address the problem of constructing numerical integrators for nonholonomic Lagrangian systems that enjoy appropriate discrete versions of the geometric properties of the continuous flow, including the preservation of energy. Building on previous work on time-dependent discrete mechanics, our approach is based on a discrete version of the Lagrange-d'Alembert principle for nonautonomous systems.

研究动机与目标

• 解决为非完整拉格朗日系统构造数值积分器的挑战，使其能保持连续流的关键几何性质。
• 克服固定步长变分积分器无法同时守恒能量、辛结构与动量的理论障碍。
• 为非自治非完整系统建立Lagrange-d'Alembert原理的离散形式，以实现能量守恒。
• 确保所得积分器继承离散形式的辛结构演化与非完整动量守恒性质。
• 建立离散能量守恒的条件，特别是在自治系统中的情况。

提出的方法

• 在扩展配置空间 $\overline{Q} = \mathbb{R} \times Q$ 上，为非自治非完整系统建立Lagrange-d'Alembert原理的离散版本。
• 在 $\overline{Q} \times \overline{Q}$ 上定义扩展离散拉格朗日量 $L_d$，包含时间演化与约束条件。
• 通过变分原理推导出扩展离散Lagrange-d'Alembert（EDLA）方程，作为控制积分器动力学的方程。
• 引入可变时间步长，以规避固定步长下能量-辛-动量同时守恒的理论不可能性。
• 当存在对称性时，对EDLA方程应用约化理论，导出约化扩展离散Lagrange-d'Alembert（REDLA）方程。
• 利用局部联络形式 $\mathcal{A}_{\text{loc}}$ 在丛坐标中表示力，从而在对称设定下实现计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 非完整系统的离散积分器能否同时保持能量、辛结构与动量？
• RQ2 可变时间步长在非完整系统变分积分器中实现能量守恒方面起到何种作用？
• RQ3 如何将离散Lagrange-d'Alembert原理扩展至具有非完整约束的非自治系统？
• RQ4 所得积分器继承了哪些几何性质，特别是关于辛性与动量映射的性质？
• RQ5 在非完整设定下，离散能量在何种条件下保持守恒？

主要发现

• 所提出的扩展离散Lagrange-d'Alembert（EDLA）积分器保持了辛形式与非完整动量映射，确保了几何保真性。
• 当离散拉格朗日量与约束在时间平移下不变时，即在自治系统中，离散系统中能量守恒。
• 离散能量 $E_{L_d}^+$ 沿流保持恒定：$E_{L_d}^+(t_k, q_k, t_{k+1}, q_{k+1}) = E_{L_d}^+(t_{k-1}, q_{k-1}, t_k, q_k)$，如命题4所示。
• 通过允许可变时间步长，该方法克服了定理1的理论障碍，实现了能量、辛结构与动量的同时守恒。
• 针对对称系统导出了约化EDLA方程（REDLA），并利用局部联络形式 $\mathcal{A}_{\text{loc}}$ 表示力。
• 证明了积分器会投影到约化方程的解上，确保在对称构型下的一致性。