[论文解读] Energy Gap Phenomena for Yang-Mills Connections

Teng Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 1

一句话总结

本文建立了在维度 $n \geq 4$ 的紧致黎曼流形上的向量丛上杨-米尔斯联络的密度 $|F_A|^{n/2}$ 的平均值不等式，由此导出有界能量序列的能量集中原理。此外，本文证明了能量下界为正数，除非丛是平坦的，从而确立了基本的能量间隙现象。

ABSTRACT

We consider a vector bundle $E$ over a compact Riemannian manifold $M$=$M^{n}$,$n\geq 4$,and $A$ is a Yang-Mills connection with $L^{\frac{n}{2}}$ curvature $F_{A}$ on $E$.Then we prove a mean value inequality for the density $|F_{A}|^{\frac{n}{2}}$.This inequality give rise to an energy concentrate principle for sequences of solutions that have bounded energy.We also proof that the energy must be bounded from below by some positive constant unless $E$ is a flat bundle.

研究动机与目标

• 在维度 $n \geq 4$ 的紧致黎曼流形上，建立杨-米尔斯联络的 $L^{n/2}$-范数密度 $|F_A|^{n/2}$ 的平均值不等式。
• 从具有统一有界能量的杨-米尔斯联络序列中，推导出能量集中原理。
• 确定杨-米尔斯联络的能量是否可以任意小，以及在何种条件下可以实现。
• 以底层面向量丛的平坦性来刻画能量消失的条件。

提出的方法

• 利用杨-米尔斯条件和紧致流形上的几何分析，推导出点态密度 $|F_A|^{n/2}$ 的平均值不等式。
• 应用 $F_A$ 的 $L^{n/2}$-有界性来控制局部能量分布。
• 使用紧致性与爆破分析技术，研究具有有界能量的解序列。
• 采用积分估计与索伯列夫型不等式，将局部能量集中与曲率衰减联系起来。
• 分析联络与曲率的结构，当能量消失时推导出平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $n \geq 4$ 的紧致流形上，杨-米尔斯联络的能量是否具有正的下界？
• RQ2 在何种条件下，杨-米尔斯联络的能量可以趋近于零？
• RQ3 $F_A$ 的 $L^{n/2}$-范数如何影响能量的集中？
• RQ4 能量间隙现象是否可由 $|F_A|^{n/2}$ 的平均值不等式导出？

主要发现

• 在维度 $n \geq 4$ 的紧致黎曼流形上，杨-米尔斯联络的曲率密度 $|F_A|^{n/2}$ 满足平均值不等式。
• 平均值不等式表明，除非曲率存在奇点，否则能量不能在某一点任意集中，从而为有界能量序列建立了集中原理。
• 杨-米尔斯联络的能量有正的下界，除非向量丛 $E$ 是平坦的。
• 若能量趋近于零，则联络必为平坦的，表明能量行为存在明确的二分性。