[论文解读] Energy gaps of Hamiltonians from graph Laplacians

Abbas Al-Shimary, Jiannis K. Pachos|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Graph theory and applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义的Cheeger不等式框架，通过将基态导出的加权图与非正交元素的stoquastic哈密顿量相关联，严格界定了其谱隙。通过构建一个简化图并优化其Cheeger常数，该方法在热力学极限下提供了有限且可扩展的几何下界，成功证明了伊辛链和自旋-1/2系统等模型中的能隙相，而传统方法在此类问题上失效。

ABSTRACT

The Cheeger inequalities give an upper and lower bound on the spectral gap of discrete Laplacians defined on a graph in terms of the geometric characteristics of the graph. We generalise this approach and we employ it to determine if a given discrete Hamiltonian with non-positive elements is gapped or not in the thermodynamic limit. First, we define the graph that corresponds to such a generic Hamiltonian. Then we present a suitable generalisation of the Cheeger inequalities that overcomes scaling deficiencies of the original version. By employing simple examples we illustrate how the generalised Cheeger inequalities can successfully identify gapped or gapless phases and we comment on the computational complexity of this approach.

研究动机与目标

• 为多体量子系统中谱隙的下界估计提供高效方法，特别是在热力学极限下。
• 通过从基态构造对应的图拉普拉斯矩阵，将经典Cheeger不等式推广至stoquastic哈密顿量。
• 通过引入一个可优化的简化图，克服标准Cheeger不等式在系统尺寸增大时的缩放限制，以优化能隙的下界。
• 提供一种在理论上和数值上均可处理的方法，无需完全对角化即可判断哈密顿量是否具有能隙或无能隙。

提出的方法

• 通过基态的相似变换，将stoquastic哈密顿量与一个非对称图拉普拉斯矩阵关联起来。
• 定义一个加权图，其中边权重由哈密顿量矩阵元和基态振幅导出。
• 引入一个简化图 $ ilde{G}$，以优化谱隙的下界，从而控制Cheeger常数和最大度数。
• 推导广义的Cheeger不等式：$ riangle(H) riangleq riangle(L) riangleq ilde{ ho}^2 / (2c)$，其中 $ ilde{ ho}$ 为简化图的Cheeger常数，$c$ 为其最大度数。
• 利用最大流与最小割之间的对偶性建立下界，从而实现对几何约束的高效计算。
• 将该方法应用于伊辛链和基于超立方体的自旋模型等模型系统，以检验其在识别能隙与无能隙相方面的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何图论方法，在热力学极限下为stoquastic哈密顿量的谱隙提供非平凡的下界？
• RQ2 如何克服经典Cheeger不等式在能隙估计中因系统尺寸增大而产生的不良缩放问题？
• RQ3 与原始图相比，简化图的构造是否能系统性地改进能隙下界？
• RQ4 广义的Cheeger不等式是否能成功识别如一维横场伊辛模型等模型中的能隙相？
• RQ5 该方法在复杂且物理上相关的系统（如2D AKLT模型，其无能隙性尚未被证明）中的适用范围有多大？

主要发现

• 广义的Cheeger不等式为stoquastic哈密顿量的谱隙提供了下界：$ riangle(H) riangleq ilde{ ho}^2 / (2c)$，其中 $ ilde{ ho}$ 为简化图的Cheeger常数，$c$ 为其最大度数。
• 在一维横场伊辛模型中，广义下界在系统尺寸 $n$ 增大时保持有限且非零，而标准Cheeger下界则会衰减。
• 在 $Q_4$ 超立方体模型中，若仅保留Cheeger割边的简化图，可得到与系统尺寸无关的下界 $B/2$，从而证明了能隙相的存在。
• 该方法成功识别出标准Cheeger不等式因缩放性能差而失效的自旋-1/2模型中的能隙相。
• 该方法将困难的谱隙估计问题转化为图上的几何优化问题，尽管该问题是NP完全的，但可通过近似和启发式方法求解。
• 该框架实现了无需完全对角化的严格能隙分析，为研究量子多体系统中的能隙行为提供了一种可扩展的替代方案。