[论文解读] Energy Identity for Stationary Yang Mills

Aaron Naber, Daniele Valtorta|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文通过证明弱极限下Yang-Mills序列产生的缺陷测度 $\nu = e(x)\,d\lambda^{n-4}$ 的能量恒等式，建立了黎曼流形上静止Yang-Mills联络的能量量化。关键结果为：在几乎处处的 $n-4$-可rectifiable 点 $x$ 处，能量密度 $e(x)$ 等于通过在 $x$ 处进行爆破所形成的泡（即 $S^4$ 上的Yang-Mills联络）的能量之和。核心贡献在于对曲率Hessian的 $L^1$-范数给出了有效估计，该估计在无需预先假设的条件下即蕴含能量量化，并进一步实现了具有统一估计的定量泡树分解。

ABSTRACT

Given a principal bundle $P o M$ over a Riemannian manifold with compact structure group $G$, let us consider a stationary Yang-Mills connection $A$ with energy $\int_M |F_A|^2\le Λ$. If we consider a sequence of such connections $A_i$, then it is understood that up to subsequence we can converge $A_i o A$ to a singular limit connection such that the energy measures converge $|F_{A_i}|^2 dv_g o |F_A|^2dv_g +ν$, where $ν=e(x)dλ^{n-4}$ is the $n-4$ rectifiable defect measure. Our main result is to show, without additional assumptions, that for $n-4$ a.e. point the energy density $e(x)$ may be computed explicitly as the sum of the bubble energies arising from blow ups at $x$. Each of these bubbles may be realized as a Yang Mills connection over $S^4$ itself. Our second main theorem is to show this hessian bound holds automatically. Precisely, given a connection $A$ as above we have the apriori estimate $\int_M | abla^2 F_A| < C(Λ,\dim G,M)$ for the curvature. It is important to note this result is proved in tandem with the energy quantization, and not before it. Indeed, we will in fact prove an effective version of the energy identity, and it is this effective version which will lead to both the $L^1$ hessian bound and the classical energy quantization results. In the course of the proof we will provide a quantitative version of the bubble tree decomposition which hold in all dimensions with effective estimates for a fixed stationary connections. To produce to strongest estimates in the paper we introduce an $ε$-gauge condition, which generalizes the usual Coulomb gauge and which will exist, with effective control, even over singular regions. On these $ε$-gauges we will provide a new superconvexity estimate which will be a key tool in analyzing higher dimensional annular regions.

研究动机与目标

• 解决Yang-Mills联络弱极限中缺陷测度 $\nu = e(x)\,d\lambda^{n-4}$ 的结构问题。
• 建立能量量化：在无需额外曲率有界性假设的条件下，$e(x)$ 等于 $x$ 处所有泡的能量之和。
• 证明静止Yang-Mills联络的 $\nabla^2 F_A$ 的 $L^1$-有界性，且该界在曲率能量有界下一致成立。
• 为固定静止联络构造具有有效估计的定量泡树分解。
• 引入并利用 $\epsilon$-规范条件以控制奇点区域，并实现超凸性估计。

提出的方法

• 引入一种 $\epsilon$-规范条件，其为Coulomb规范的推广，可在奇点区域实现有效控制。
• 在环形区域上发展曲率 $L^1$ 梯度的超凸性估计，该估计对高维分析至关重要。
• 通过迭代覆盖球体，利用 $\delta$-弱平坦区域、$\delta$-泡区域与 $\delta$-环形区域，构造定量泡树分解。
• 利用环形区域的Ahlfors正则性与变换估计，控制不同尺度间曲率的增长。
• 通过结合 $\epsilon$-规范估计与泡树分解，证明有效能量恒等式。
• 作为有效能量恒等式的推论，而非先验假设，导出 $L^1$ Hessian 估计：$\int_M |\nabla^2 F_A| \leq C(\Lambda, \dim G, M)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 缺陷测度 $\nu$ 的能量密度 $e(x)$ 是否可显式计算为 $x$ 处通过爆破形成的泡的能量之和？
• RQ2 对于曲率能量有界的静止Yang-Mills联络，$\nabla^2 F_A$ 的 $L^1$-有界性是否自动成立？
• RQ3 能否在所有维度下构造具有统一估计的定量泡树分解？
• RQ4 能否在奇点集上定义并控制 $\epsilon$-规范条件，以实现高阶曲率估计？
• RQ5 经典Yang-Mills联络的能量量化结果是否可在不假设 $L^1$ Hessian 有界性的条件下成立？

主要发现

• 在 $n-4$-几乎处处点 $x$ 处，缺陷测度的能量密度 $e(x)$ 等于通过Yang-Mills联络序列在 $x$ 处爆破所形成的所有泡的能量之和。
• 对于满足 $\int_M |F_A|^2 \leq \Lambda$ 的静止Yang-Mills联络，$\nabla^2 F_A$ 的 $L^1$-有界性自动成立，且满足 $\int_M |\nabla^2 F_A| \leq C(\Lambda, \dim G, M)$。
• 构造了具有有效估计的定量泡树分解：$\sum_c r_{c,i}^{n-4} \leq \epsilon^i$，且 $\sum_a r_{a,i}^{n-4} + \sum_b r_{b,i}^{n-4} + \sum_d r_{d,i}^{n-4} \leq C(n,k,\Lambda,\delta)\sum_{j=0}^i \epsilon^j$。
• $\epsilon$-规范条件存在且对奇点区域具有有效控制，同时使环形区域上曲率 $L^1$ 梯度的新型超凸性估计成为可能。
• 能量恒等式以有效形式被证明：缺陷测度 $\nu$ 通过泡能量实现量化，且该结果蕴含了 $L^1$ Hessian 估计。
• $L^1$ Hessian 估计与能量恒等式同步推导得出，而非作为先决条件，其依据为有效泡树与 $\epsilon$-规范框架。