[论文解读] Energy minimizers for an asymptotic MEMS model with heterogeneous dielectric properties

Philippe Laurençot, Katerina Nik+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 35被引用 5

一句话总结

该论文证明了在绝缘层厚度趋于零的极限下，具有非均匀介电特性的渐近MEMS模型存在能量极小化子。论文证明了依赖于静电势和弹性板变形的能量泛函存在极小化子，推导了相应的欧拉-拉格朗日方程，并建立了由于板接触可能产生尖点的非利普希茨区域中静电势的最大正则性。

ABSTRACT

A model for a MEMS device, consisting of a fixed bottom plate and an elastic plate, is studied. It was derived in a previous work as a reinforced limit when the thickness of the insulating layer covering the bottom plate tends to zero. This asymptotic model inherits the dielectric properties of the insulating layer. It involves the electrostatic potential in the device and the deformation of the elastic plate defining the geometry of the device. The electrostatic potential is given by an elliptic equation with mixed boundary conditions in the possibly non-Lipschitz region between the two plates. The deformation of the elastic plate is supposed to be a critical point of an energy functional which, in turn, depends on the electrostatic potential due to the force exerted by the latter on the elastic plate. The energy functional is shown to have a minimizer giving the geometry of the device. Moreover, the corresponding Euler-Lagrange equation is computed and the maximal regularity of the electrostatic potential is established.

研究动机与目标

• 建立具有非均匀介电特性的简化渐近MEMS模型中能量极小化子的存在性。
• 分析耦合静电势与弹性板变形的能量泛函的数学结构。
• 推导刻画能量泛函临界点的欧拉-拉格朗日方程。
• 在由于板接触而产生的非利普希茨区域中，建立静电势的最大正则性。

提出的方法

• 通过在绝缘层厚度趋于零的极限下使用Gamma-收敛，推导出保持介电异质性的简化能量泛函。
• 在可能因板接触而产生尖点的区域中，通过带混合边界条件的椭圆型PDE建模静电势。
• 将弹性板变形视为依赖于静电力的能量泛函的临界点。
• 使用变分方法和紧致性论证，证明能量泛函存在极小化子。
• 应用迹估计和Sobolev嵌入估计，控制非光滑区域中静电势及其正则性。
• 对辅助四阶常微分方程的解建立一致有界性，以控制变形轮廓并确保正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非均匀介电特性的渐近MEMS模型的能量泛函是否允许存在极小化子？
• RQ2 该模型中能量极小化问题对应的欧拉-拉格朗日方程是什么？
• RQ3 在由于板接触而产生几何奇点的情况下，静电势的正则性如何？
• RQ4 极小化子能否被表征为同时包含弹性板变形与静电势的系统解？

主要发现

• 渐近MEMS模型的能量泛函存在极小化子，对应于器件的稳定平衡构型。
• 极小化子满足由能量泛函欧拉-拉格朗日方程导出的方程组。
• 静电势属于L^r（r ≥ 2），且在非利普希茨区域Ω(u)中表现出最大正则性，即使存在尖点亦然。
• 对辅助四阶常微分方程的解建立了一致有界性，确保对模型中变形轮廓的控制。
• 证明了静电势属于H^1，且其在变形板上的迹可通过Sobolev和迹不等式得到控制。
• 分析结果表明，即使弹性板接触绝缘层，该模型在数学上仍保持适定性，避免了经典模型中的奇异性。