[论文解读] Energy-preserving fully-discrete schemes for nonlinear stochastic wave equations with multiplicative noise

Jialin Hong, Baohui Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用 16

一句话总结

本论文通过在空间上结合紧凑有限差分（CFD）或内罚不连续伽辽金（IPDG）方法，在时间上结合离散梯度法与帕德近似，提出了非线性随机波动方程在乘性噪声下能量保持的全离散格式。关键贡献在于证明了所提出的格式即使在乘性噪声下也能精确保持离散平均能量演化律，数值实验验证了理论结果，显示出线性能量增长与一阶时间收敛率。

ABSTRACT

In this paper, we focus on constructing numerical schemes preserving the averaged energy evolution law for nonlinear stochastic wave equations driven by multiplicative noise. We first apply the compact finite difference method and the interior penalty discontinuous Galerkin finite element method to discretize space variable and present two semi-discrete schemes, respectively. Then we make use of the discrete gradient method and the Pad\'e approximation to propose efficient fully-discrete schemes. These semi-discrete and fully-discrete schemes are proved to preserve the discrete averaged energy evolution law. In particular, we also prove that the proposed fully-discrete schemes exactly inherit the averaged energy evolution law almost surely if the considered model is driven by additive noise. Numerical experiments are given to confirm theoretical findings.

研究动机与目标

• 开发用于驱动于乘性噪声的非线性随机波动方程的全离散数值格式，以保持平均能量演化律。
• 解决现有全离散格式在乘性噪声下无法精确继承平均能量演化律的问题。
• 结合高阶空间离散化（CFD或IPDG）与通过离散梯度和帕德近似实现的能量保持时间积分方法。
• 从理论上和数值上证明所提格式能够保持离散平均能量演化律。
• 通过数值实验验证格式性能，展示线性能量增长与一阶收敛率。

提出的方法

• 对随机波动方程应用紧凑有限差分（CFD）方法与内罚不连续伽辽金（IPDG）有限元方法进行空间半离散化，得到半离散随机微分方程。
• 在时间方向使用离散梯度法处理非线性漂移项，利用帕德近似处理扩散项，以确保能量保持。
• 证明所得到的全离散格式在乘性噪声与加性噪声两种情况下，均能保持离散版本的平均能量演化律。
• 对于加性噪声，证明格式以几乎必然方式保持平均能量演化律，确认理论一致性。
• 基于空间与时间离散化方法的组合，构建六种数值格式：CFD-I、CFD-II、CFD-CNM、DG-I、DG-II、DG-CNM。
• 通过测试问题（f(u) = sin(u)，f(u) = u^3，g(u) = 1，sin(u)，u）对格式进行数值验证，比较能量演化与收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出对具有乘性噪声的非线性随机波动方程精确保持平均能量演化律的全离散格式？
• RQ2 紧凑有限差分法与内罚不连续伽辽金法在空间离散化中，对保持离散平均能量的表现如何？
• RQ3 在时间方向结合离散梯度法与帕德近似是否能确保全离散格式下的能量保持？
• RQ4 所提格式是否如理论预测的那样保持线性能量增长与一阶时间收敛率？
• RQ5 与标准格式如C-N和BEM相比，所提格式在保持平均能量演化律方面表现如何？

主要发现

• 基于空间CFD或IPDG与时间离散梯度/帕德近似的全离散格式，能精确保持具有乘性噪声的非线性随机波动方程的离散平均能量演化律。
• 对于加性噪声（g(u) = 常数），格式以几乎必然方式保持平均能量演化律，确认理论一致性。
• 数值实验表明，CFD-I、CFD-II、DG-I与DG-II格式表现出与精确解一致的线性平均能量增长，证实了能量保持性。
• 相比之下，CFD-CNM与DG-CNM格式未能保持平均能量演化律，表现出非线性且更快的能量增长。
• 所有六种格式（CFD-I、CFD-II、CFD-CNM、DG-I、DG-II、DG-CNM）的时间收敛阶均约为一，由误差与时间步长的对数-对数图可得证实。
• 当g(u) = u时，平均能量增长快于g(u) = sin(u)，这与加性噪声下理论增长率λ²/2 Tr(Q)一致。