[论文解读] Energy spectra and eigenstates of quasiperiodic tight-binding Hamiltonians

Uwe Grimm, Michael Schreiber|Open Research Online (The Open University)|Dec 6, 2002

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文通过数值方法研究了二维和三维准周期紧束缚哈密顿量的能量谱和本征态。结果表明，本征态表现出多重分形特性，能级间距统计符合普遍的随机矩阵分布，量子扩散与分形能谱特性相关联，且在相互作用下，一维非公度系统中诱导出类似贝列兹金的相变。

ABSTRACT

Analytic and numerical results for quasiperiodic tight-binding models are reviewed, with emphasis on two and three-dimensional models which so far are beyond a mathematically rigorous treatment. In particular, we consider energy spectra of aperiodic tight-binding models and the corresponding level statistics, which are well reproduced by random matrix theory. The eigenstates are characterised by multifractal analysis, and a construction of peculiar multifractal states on the Penrose tiling is discussed. We also consider quantum diffusion, and present some results on interacting electron systems in one dimension.

研究动机与目标

• 通过在准周期晶格上分析单电子模型，理解准晶体的电子性质。
• 研究准周期系统中非周期性有序与局域化之间的相互作用，与无序和周期性系统进行对比。
• 考察电子-电子相互作用在驱动一维非周期系统中金属-绝缘体相变中的作用。
• 探索高维准周期镶嵌结构（包括迷宫镶嵌）中的量子扩散与谱分形性。
• 确定三维准周期模型（如Ammann-Kramer-Neri镶嵌）中是否存在扩展态。

提出的方法

• 对包括彭罗斯镶嵌和阿曼-比纳克镶嵌在内的准周期图的有限尺寸紧束缚哈密顿量进行数值对角化。
• 使用周期近似器将结果外推至无限系统极限。
• 通过逆参与比率和波函数振幅的标度分析本征态的多重分形性。
• 通过最近邻间距分布研究能级统计，并与随机矩阵理论预测进行比较。
• 通过准周期系统中波包的时间演化研究量子扩散。
• 在迷宫镶嵌中应用乘积结构，将二维本征态和能谱分解为一维分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维和三维准周期紧束缚模型的能量谱和本征态与周期性或无序系统有何不同？
• RQ2 本征态的多重分形特性在多大程度上与准周期系统中的能级间距统计相关？
• RQ3 电子-电子相互作用对一维非周期链中金属-绝缘体相变的影响是什么？
• RQ4 准周期系统中的量子扩散能否与能谱的分形维数定量关联？
• RQ5 在如Ammann-Kramer-Neri镶嵌这样的三维准周期模型中是否存在扩展电子态？

主要发现

• 如彭罗斯镶嵌等二维准周期系统中的本征态表现出强烈的多重分形性，经数值分析和解析构造证实。
• 准周期模型中的能级间距统计很好地符合普遍的随机矩阵分布，与多重分形本征态的预期相反。
• 迷宫镶嵌中的量子扩散由其一维八阶斐波那契链的乘积结构所支配，从而实现高效的数值处理。
• 在一维非周期系统中，当存在相互作用时，强吸引力相互作用下会诱发从绝缘体到金属行为的类似贝列兹金相变，尤其在共格粒子密度下更为显著。
• 在非共格情况下，电子-电子相互作用对金属-绝缘体相变仅有微弱影响，表明该区域相变具有鲁棒性。
• 数值证据表明，随着空间维度的增加，局域化趋势总体减弱，但三维准周期模型中是否存在扩展态仍无定论。