[论文解读] Energy stable and accurate coupling of finite element methods and finite difference methods

Tuan Anh Dao, Ken Mattsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用 13

一句话总结

本文提出了一种可证明稳定的、精确的且能量守恒的连续伽辽金有限元（FE）与高阶有限差分（FD）方法之间的耦合方法，采用求和-by-parts（SBP）算子和同时逼近项（SAT）。该技术可在最小修改下实现非 conforming 多块耦合，通过非对角范数 SBP 保持插值算子弱式强制界面连续性，即使在非线性守恒律和连续 FE 质量矩阵（无需质量集中化）的情况下，也能保持严格的稳定性和守恒性。

ABSTRACT

We introduce a hybrid method to couple continuous Galerkin finite element methods and high-order finite difference methods in a nonconforming multiblock fashion. The aim is to optimize computational efficiency when complex geometries are present. The proposed coupling technique requires minimal changes in the existing schemes while maintaining strict stability, accuracy, and energy conservation. Results are demonstrated on linear and nonlinear scalar conservation laws in two spatial dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种稳定、精确且能量守恒的混合方法，用于在复杂几何中耦合有限元（FE）与有限差分（FD）方法。
• 克服将 FE 方法与高阶 FD 格式耦合的挑战，特别是由于连续伽辽金 FE 方法中非对角质量矩阵带来的问题。
• 在不需质量集中化或对现有格式进行重大修改的情况下，保持严格的稳定性和守恒性。
• 在对现有 FD 和 FE 实现仅作最小修改的前提下，实现非 conforming 多块耦合。
• 将 SBP-SAT 框架扩展至 FE-FD 耦合，包括非线性标量守恒律。

提出的方法

• 利用 SBP-SAT 框架，确保耦合系统中具有严格的稳定性和能量守恒性。
• 通过同时逼近项（SAT）与 SBP 保持插值算子，弱式强制界面连续性。
• 构建用于 FE-FD 耦合的非对角范数插值算子，避免对质量集中化的依赖。
• 提出两种构造技术：一种基于直接矩阵结构求解，另一种利用对角范数“桥接层”以复用现有的对角范数插值方法。
• 在 FD 和 FE 两侧一致应用 SAT 公式，采用一种与耦合方案或网格无关的通用 FE 公式。
• 在结构化网格上使用高阶 SBP 有限差分算子，在非结构化或非 conforming 网格上使用连续伽辽金有限元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非 conforming 多块设置下，实现高阶有限差分与连续伽辽金有限元方法之间稳定且精确的耦合？
• RQ2 在使用 FE 方法中非对角质量矩阵的情况下，如何以弱式强制界面连续性的方式，同时保持严格的稳定性和能量守恒性？
• RQ3 SBP-SAT 框架能否在不需质量集中化或对角范数近似的情况下，扩展至 FE-FD 耦合？
• RQ4 在 FE 与 FD 块之间的非 conforming 界面处，需要何种插值算子以维持精度与稳定性？
• RQ5 所提出的耦合方法在线性和非线性守恒律（包括对流-扩散方程和 Burgers 方程）上的表现如何？

主要发现

• 所提出的耦合方法在线性和非线性问题中均实现了二阶收敛率，且高阶 FD 格式可提升精度与收敛速率。
• 数值结果表明，在相同设置下，四阶 FD 格式可使 l2 误差较二阶 FD 格式降低约 50%。
• 该方法在非 conforming 界面处对线性对流-扩散方程和非线性 Burgers 方程均保持严格的能量稳定性和守恒性。
• 即使在不进行质量集中化的情况下，非对角 FE 质量矩阵也未损害稳定性或精度，验证了该方法的鲁棒性。
• 两种插值构造技术——直接矩阵求解与桥接层方法——均能获得稳定且精确的结果，其中后者可复用现有的对角范数插值工具。
• 该方法适用于一般标量守恒律，且可扩展至非线性系统、曲线结构网格和高阶有限元。