[论文解读] Enforcing and Defying Associativity, Commutativity, Totality, and Strong Noninvertibility for One-Way Functions in Complexity Theory

Lane A. Hemaspaandra, Joerg Rothe+1 more|ArXiv.org|Mar 21, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文证明，无论四种代数性质——强不可逆性、全域性、交换性与结合性——以何种组合存在，其存在性均精确等价于复杂度类分离 P ≠ NP。本文证明，对于这四种性质的全部 81 种可能组合（每个性质被要求、禁止或忽略），此类单向函数存在的充要条件正是 P ≠ NP。

ABSTRACT

Rabi and Sherman [RS97,RS93] proved that the hardness of factoring is a sufficient condition for there to exist one-way functions (i.e., p-time computable, honest, p-time noninvertible functions; this paper is in the worst-case model, not the average-case model) that are total, commutative, and associative but not strongly noninvertible. In this paper we improve the sufficient condition to ``P does not equal NP.'' More generally, in this paper we completely characterize which types of one-way functions stand or fall together with (plain) one-way functions--equivalently, stand or fall together with P not equaling NP. We look at the four attributes used in Rabi and Sherman's seminal work on algebraic properties of one-way functions (see [RS97,RS93]) and subsequent papers--strongness (of noninvertibility), totality, commutativity, and associativity--and for each attribute, we allow it to be required to hold, required to fail, or ``don't care.'' In this categorization there are 3^4 = 81 potential types of one-way functions. We prove that each of these 81 feature-laden types stand or fall together with the existence of (plain) one-way functions.

研究动机与目标

• 确定单向函数在具备特定代数性质时，其存在性的复杂度理论条件。
• 解决一个开放问题：P ≠ NP 是否足以保证存在具有混合性质（包括非结合或非交换）的单向函数。
• 扩展 Rabi 和 Sherman 的先前结果，后者依赖于因数分解的困难性，本文表明 P ≠ NP 本身已足够作为条件。
• 完全刻画四种性质（强不可逆性、全域性、交换性、结合性）的全部 81 种组合，相对于 P ≠ NP 的存在性关系。

提出的方法

• 作者分析了四种性质（Y = 必须具备，N = 禁止具备，* = 无影响）在单向函数中的全部 81 种组合。
• 通过归约与构造方法，证明对于每种组合，此类单向函数的存在性等价于 P ≠ NP。
• 关键构造包括：利用精心设计的二元运算，将一个全域单向函数转化为一个非交换、结合、非强不可逆的单向函数。
• 证明利用了复杂度理论中的已知结果，包括单向函数存在性与 P ≠ NP 的等价性，并应用了归约下的封闭性质。
• 分析并驳斥了先前工作中存在缺陷的构造，例如 Rabi 和 Sherman 提出的添加全域性的方法，证明其将导致 UP = NP，而该结论被认为极不可能成立。
• 论证基于蕴含关系与归约的逻辑封闭性，表明若 P ≠ NP 成立，则全部 81 种类型的单向函数均存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 P ≠ NP 是否是存在具有全域性、交换性、结合性但非强不可逆性的单向函数的充分条件？
• RQ2 能否存在具有非全域性、非交换性与非结合性，但仍具备非强不可逆性的单向函数？
• RQ3 特定组合的四种代数性质是否决定了单向函数的存在性，且其存在性是否仅取决于 P ≠ NP？
• RQ4 能否以 P ≠ NP 取代因数分解的困难性，作为某些类型单向函数存在的更强且更普遍的条件？
• RQ5 在 P ≠ NP 的假设下，要求或禁止强不可逆性对单向函数存在性有何影响？

主要发现

• 对于四种性质（强不可逆性、全域性、交换性、结合性）的全部 81 种可能组合，此类单向函数的存在性均等价于 P ≠ NP。
• 本文改进了 Rabi 和 Sherman 的结果，表明 P ≠ NP 而非仅因数分解的困难性，已足以保证非强、全域、交换、结合单向函数的存在。
• 本文提供了一种构造方法，可将一个全域单向函数转化为一个非交换、结合、非强不可逆的单向函数，从而在 P ≠ NP 下证明了 (N,Y,Y,Y)-OWFs 的存在性。
• 本文证明，Rabi 和 Sherman 提出的向部分单向函数添加全域性的方法，仅在 UP = NP 时成立，而该假设被认为极不可能成立。
• 非强、全域、非交换、结合单向函数 (N,Y,N,Y)-OWFs 的存在性也被证明等价于 P ≠ NP。
• 该结果全面刻画了具有代数性质的单向函数的全貌，表明在相同复杂度假设下，任一组合的存在性概率均无差异。