[论文解读] Enforcing strong stability of explicit Runge--Kutta methods with superviscosity

Zheng Sun, Chi‐Wang Shu|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 50被引用 8

一句话总结

本文提出两种基于超粘性的方法——修正法与滤波法，用于在显式Runge--Kutta（RK）方法中对线性和非线性问题实现强稳定性。通过添加高阶耗散性或色散性超粘性项，该方法在不降低精度的前提下保持能量衰减，并为强稳定性推导出超粘性强度的精确边界，该边界在包括守恒律的DG离散化在内的线性和非线性情形中均通过数值验证。

ABSTRACT

A time discretization method is called strongly stable, if the norm of its numerical solution is nonincreasing. It is known that, even for linear semi-negative problems, many explicit Runge--Kutta (RK) methods fail to preserve this property. In this paper, we enforce strong stability by modifying the method with superviscosity, which is a numerical technique commonly used in spectral methods. We propose two approaches, the modified method and the filtering method for stabilization. The modified method is achieved by modifying the semi-negative operator with a high order superviscosity term; the filtering method is to post-process the solution by solving a diffusive or dispersive problem with small superviscosity. For linear problems, most explicit RK methods can be stabilized with either approach without accuracy degeneration. Furthermore, we prove a sharp bound (up to an equal sign) on diffusive superviscosity for ensuring strong stability. The bound we derived for general dispersive-diffusive superviscosity is also verified to be sharp numerically. For nonlinear problems, a filtering method is investigated for stabilization. Numerical examples with linear non-normal ordinary differential equation systems and for discontinuous Galerkin approximation of conservation laws are performed to validate our analysis and to test the performance.

研究动机与目标

• 解决显式RK方法在非正规或非强制设置下对线性和非线性问题缺乏强稳定性的缺陷。
• 开发一种稳定化技术，保持原始精度阶数的同时强制实现单调能量衰减。
• 为线性问题中强稳定性的超粘性强度提供精确的理论边界。
• 通过基于自适应超粘性的滤波策略，将该方法扩展至非线性问题。
• 通过线性ODE和守恒律DG格式的数值测试验证该方法。

提出的方法

• 提出一种修正法，通过在ODE系统中的半负算子上添加高阶超粘性项。
• 提出一种滤波法，通过小超粘性下的耗散性或色散性问题对解进行后处理。
• 推导能量估计，比较稳定化解与原始解，以界定由超粘性引入的误差。
• 为线性问题中耗散性超粘性的强稳定性建立精确的理论边界，并通过数值方法证明其最优性。
• 针对非线性问题，基于局部解行为采用自适应超粘性，应用滤波法。
• 采用带熵守恒通量的间断伽辽金空间离散化，测试其在双曲守恒律中的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用超粘性稳定显式RK方法求解线性ODE系统，同时保持精度并实现强稳定性？
• RQ2 保证线性问题中强稳定性的最小超粘性量是多少？该边界是否精确？
• RQ3 如何将超粘性稳定化方法扩展至能量衰减无法保证的非线性问题？
• RQ4 滤波法是否能保持精度并抑制非线性守恒律中的虚假振荡？
• RQ5 超粘性参数的选择如何影响长时间模拟中的能量演化与解的质量？

主要发现

• 推导出耗散性超粘性的精确边界，该边界对线性问题的强稳定性而言既必要又充分，并通过数值验证其最优性。
• 修正法与滤波法在保持线性问题原始精度阶数方面表现良好，收敛率与底层RK格式一致（例如，$p=2$ 时为二阶，$p=5$ 时为五阶）。
• 对于$P^2$-DG与二阶RK的Burgers方程，$L^2$误差收敛阶数为2.01；对于$P^4$-DG与五阶Fehlberg格式，$L^natural$范数下的收敛率为2.01。
• 数值结果表明，原始方法的解范数持续增长，而滤波法能维持能量衰减，其范数随时间减小。
• 采用自适应超粘性的滤波法可有效抑制激波捕捉中的振荡，但当超粘性过强时可能造成过度平滑。
• 滤波法成功稳定了非线性问题（如Burgers方程），在标准RK方法即使使用熵守恒通量也无法保持强稳定性的场景下表现优异。