[论文解读] Enlargeability, foliations, and positive scalar curvature

Moulay-Tahar Benameur, James L. Heitsch|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过证明在可扩大流形上不存在具有 Hausdorff 同伦群丛的自旋叶状结构，将经典正标量曲率（PSC）度量结果进一步拓展。该研究建立了基于叶状结构 K-面积的 PSC 度量上界，并将 Connes 的消去定理推广至 Haefliger 上同调类，统一了叶状结构中的几何与拓扑障碍。

ABSTRACT

We extend the deep and important results of Lichnerowicz, Connes, and Gromov-Lawson which relate geometry and characteristic numbers to the existence and non-existence of metrics of positive scalar curvature (PSC). In particular, we show: that a spin foliation with Hausdorff homotopy groupoid of an enlargeable manifold admits no PSC metric; that any metric of PSC on such a foliation is bounded by a multiple of the reciprocal of the foliation K-area of the ambient manifold; and that Connes' vanishing theorem for characteristic numbers of PSC foliations extends to a vanishing theorem for Haefliger cohomology classes.

研究动机与目标

• 将可扩大自旋流形上 PSC 度量不存在性的结果，推广至具有 Hausdorff 同伦群丛的自旋叶状结构。
• 建立此类叶状结构标量曲率的定量上界，以环境流形的叶状结构 K-面积表示。
• 在 PSC 叶状结构的背景下，将 Connes 对特征数的消去定理推广至 Haefliger 上同调类。
• 提供新的非自旋、可扩大流形的例子，其具有非平凡叶状结构，但仍阻碍 PSC 度量的存在。
• 在具有非平凡 holonomy 群丛的叶状流形设定下，统一指标理论障碍与几何障碍。

提出的方法

• 利用具有 Hausdorff 同伦群丛的叶状结构的指标理论，基于 Heitsch-Lawson 与 Hilsum 的工作。
• 通过 $\epsilon$-收缩映射将可扩大性概念应用于万有覆叠，将 Gromov-Lawson 技术扩展至叶状结构设定。
• 引入叶状结构 K-面积不变量作为 PSC 度量的几何障碍，对标量曲率提供上界。
• 利用 Connes 的循环上同调与全纯等变丛，定义 Haefliger 上同调中的特征类。
• 运用叶状结构的 Atiyah-Singer 指标定理与 Lichnerowicz 公式，将曲率与谱不变量关联。
• 通过在对称空间上的群作用与轨道叶状结构构造显式例子，确保同伦群丛为 Hausdorff 且满足可扩大性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可扩大自旋流形上 PSC 度量不存在性是否可推广至具有 Hausdorff 同伦群丛的自旋叶状结构？
• RQ2 何种几何不变量可界定可扩大流形上 PSC 叶状结构的标量曲率？
• RQ3 Connes 对特征数的消去定理是否可推广至 PSC 叶状结构的 Haefliger 上同调类？
• RQ4 是否存在非自旋、可扩大流形满足 $̂{A}(M) = 0$，但仍通过叶状指标理论阻碍 PSC 叶状结构的存在？
• RQ5 能否在可扩大流形上构造具有非平凡次特征类的叶状结构，同时保持同伦群丛的 Hausdorff 性质？

主要发现

• 若一可扩大流形允许具有 Hausdorff 同伦群丛的自旋叶状结构，则其不能携带任何正标量曲率度量。
• 此类叶状结构上的任何 PSC 度量，其标量曲率均被环境流形叶状结构 K-面积的倒数的某个倍数所上界。
• Connes 对特征数的消去定理可推广至 Haefliger 上同调类：若一自旋叶状结构允许 PSC 度量，则所有此类类均消失。
• 叶状结构 K-面积提供了一类新的几何不变量，可作为叶状结构设定中阻碍 PSC 度量存在的障碍。
• 存在非自旋、可扩大流形满足 $̂{A}(M) = 0$，且具有 Hausdorff 同伦群丛的自旋叶状结构，但其仍不允许可 PSC 度量。
• 在 $H^{4k-1}(M;\u0004bb{R})$ 中的次特征类可非零且线性无关，表明同调障碍的丰富性超越了 $̂{A}$-亏格。