[论文解读] Enriched algebraic theories and monads for a system of arities

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文在对称张量闭范畴 $\mathscr{V}$ 中，通过系统 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 构建了丰富的代数理论的一般框架，引入了 $\mathscr{J}$-理论的概念，并证明当 $\mathscr{J}$ 为自由性（即在某些左 Kan 扩张下，$\mathscr{V}$ 作为自由 cocompletion）时，$\mathscr{T}$-代数的范畴存在且在 $\mathscr{V}$ 上是单子性的，即使在 $\mathscr{V}$ 不具备完备性或 cocompleteness 的假设下也成立。其关键贡献在于将 $\mathscr{J}$-理论表征为在 $\mathscr{J}$ 上的 profunctor 二范畴中的单子，以及满足某种列极限条件的 $\mathscr{V}$-单子。

ABSTRACT

Under a minimum of assumptions, we develop in generality the basic theory of universal algebra in a symmetric monoidal closed category $\mathcal{V}$ with respect to a specified system of arities $j:\mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{V}$. Lawvere's notion of algebraic theory generalizes to this context, resulting in the notion of single-sorted $\mathcal{V}$-enriched $\mathcal{J}$-cotensor theory, or $\mathcal{J}$-theory for short. For suitable choices of $\mathcal{V}$ and $\mathcal{J}$, such $\mathcal{J}$-theories include the enriched algebraic theories of Borceux and Day, the enriched Lawvere theories of Power, the equational theories of Linton's 1965 work, and the $\mathcal{V}$-theories of Dubuc, which are recovered by taking $\mathcal{J} = \mathcal{V}$ and correspond to arbitrary $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$. We identify a modest condition on $j$ that entails that the $\mathcal{V}$-category of $\mathcal{T}$-algebras exists and is monadic over $\mathcal{V}$ for every $\mathcal{J}$-theory $\mathcal{T}$, even when $\mathcal{T}$ is not small and $\mathcal{V}$ is neither complete nor cocomplete. We show that $j$ satisfies this condition if and only if $j$ presents $\mathcal{V}$ as a free cocompletion of $\mathcal{J}$ with respect to the weights for left Kan extensions along $j$, and so we call such systems of arities eleutheric. We show that $\mathcal{J}$-theories for an eleutheric system may be equivalently described as (i) monads in a certain one-object bicategory of profunctors on $\mathcal{J}$, and (ii) $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$ satisfying a certain condition. We prove a characterization theorem for the categories of algebras of $\mathcal{J}$-theories, considered as $\mathcal{V}$-categories $\mathcal{A}$ equipped with a specified $\mathcal{V}$-functor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{V}$.

研究动机与目标

• 将 Lawvere 的代数理论推广至使用对称张量闭范畴 $\mathscr{V}$ 中的系统 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 的丰富设定。
• 确定 $\mathscr{T}$-代数范畴存在且在 $\mathscr{V}$ 上为单子性的条件，即使 $\mathscr{V}$ 缺乏完备性或 cocompleteness。
• 定义并表征‘自由性’的系统，其中 $\mathscr{V}$ 是 $\mathscr{J}$ 沿左 Kan 扩张在权重下的自由 cocompletion。
• 表明 $\mathscr{J}$-理论等价于 $\mathscr{J}$ 上的 profunctor 二范畴中的单子，并等价于满足列极限条件的 $\mathscr{V}$-单子。
• 提供 $\mathscr{V}$-范畴 $\mathscr{T}$-代数的表征，即配备指定 $\mathscr{V}$-函子至 $\mathscr{V}$ 的范畴。

提出的方法

• 将 $\mathscr{J}$-理论定义为具有单个对象 $S$ 的 $J$-余张量的 $\mathscr{V}$-范畴，推广 Lawvere 及其丰富代数理论。
• 将 $\mathscr{T}$-代数定义为保持 $J$-余张量（$J \in \mathscr{J}$）的 $\mathscr{V}$-函子，推广代数理论上的代数概念。
• 识别出关于 $j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 的条件‘自由性’——即 $\mathscr{V}$ 是 $\mathscr{J}$ 沿 $j$ 的左 Kan 扩张下 $\Phi^+$-cocompletion——以确保 $\mathscr{T}$-代数的存在性与单子性。
• 建立 $\mathscr{J}$-理论与 $\mathscr{J}$ 上 $\mathscr{V}$-profunctor 二范畴中单子之间的对应关系，通过二范畴对应。
• 证明 $\mathscr{J}$-理论等价于保持 $\Phi^+$-列极限的 $\mathscr{V}$-单子，将其与单子理论表述联系起来。
• 利用 $\Phi$-可表示对象与 $\Phi^+$-列极限的理论，证明 $\mathscr{V}_{\Phi}$ 对 $\Phi^{+-}$-列极限、$\Phi$-列极限及重取是封闭的，从而支持自由性条件的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，系统 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 使得 $\mathscr{T}$-代数范畴存在且在 $\mathscr{V}$ 上构成单子范畴，即使 $\mathscr{V}$ 不完备或不 cocomplete？
• RQ2 在何种条件下，系统 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 是自由性，即 $\mathscr{V}$ 是 $\mathscr{J}$ 沿左 Kan 扩张在权重下的 $\Phi^+$-cocompletion？
• RQ3 如何将 $\mathscr{J}$-理论等价地描述为 $\mathscr{J}$ 上 profunctor 二范畴中的单子？
• RQ4 $\mathscr{J}$-理论与保持 $\Phi^+$-列极限的 $\mathscr{V}$-单子之间的确切关系为何？
• RQ5 如何将 $\mathscr{T}$-代数范畴表征为配备指定 $\mathscr{V}$-函子至 $\mathscr{V}$ 的 $\mathscr{V}$-范畴？

主要发现

• 对于每个 $\mathscr{J}$-理论 $\mathscr{T}$，$\mathscr{T}$-代数范畴存在且在 $\mathscr{V}$ 上为单子性的充要条件是系统 $j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 为自由性。
• 系统 $j$ 为自由性的充要条件是 $\mathscr{V}$ 是 $\mathscr{J}$ 沿左 Kan 扩张在 $\Phi$-平坦权重下的 $\Phi^+$-cocompletion，其中 $\Phi^+$ 为 $\Phi$-平坦权重的类。
• 每个 $\mathscr{J}$-理论对应于 $\mathscr{J}$ 上 $\mathscr{V}$-profunctor 二范畴中一个单子，建立了二范畴等价。
• 每个 $\mathscr{J}$-理论也对应于 $\mathscr{V}$ 上保持 $\Phi^+$-列极限的 $\mathscr{V}$-单子，提供了单子化表征。
• $\mathscr{T}$-代数的 $\mathscr{V}$-范畴等价于 $\mathscr{V}$-范畴 $\mathscr{A}$ 的全子 $\mathscr{V}$-范畴，这些范畴配备有满足特定普遍性质的 $\mathscr{V}$-函子 $\mathscr{A} \to \mathscr{V}$。
• $\underline{\mathscr{V}}$ 中 $\Phi$-可表示对象的全子 $\mathscr{V}$-范畴 $\mathscr{V}_{\Phi}$ 对 $\Phi^{+-}$-列极限、$\Phi$-列极限及重取是封闭的，这对于验证自由性条件至关重要。