[论文解读] Enriched model categories and an application to additive endomorphism spectra

Daniel Dugger, Brooke Shipley|ArXiv.org|Feb 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 20

一句话总结

本文引入了加法模型范畴的概念，并基于单纯阿贝尔群的对称谱（$Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$）建立了稳定、组合性、加法模型范畴的典范丰富化。它为任意对象 $X$ 构造了一个同伦自同态谱 $ \operatorname{hEnd}_{ad}(X)$，该谱在加法性 Quillen 等价函子下保持不变，并证明了这种丰富化在加法模型范畴之间的 Quillen 等价下也被保持。

ABSTRACT

We define the notion of an additive model category, and we prove that any additive, stable, combinatorial model category has a natural enrichment over symmetric spectra based on simplicial abelian groups. As a consequence, every object in such a model category has a naturally associated endomorphism ring inside this spectra category. We establish the basic properties of this enrichment. We also develop some enriched model category theory. In particular, we have a notion of an adjoint pair of functors being a 'module' over another such pair. Such things are called "adjoint modules". We develop the general theory of these, and use them to prove a result about transporting enrichments over one symmetric monoidal model category to a Quillen equivalent one.

研究动机与目标

• 定义并发展加法模型范畴的理论，其中同伦集是阿贝尔群，且复合运算是双加法的，同时与高阶同伦相容。
• 在 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上建立稳定、组合性、加法模型范畴的典范模型丰富化，即单纯阿贝尔群上的对称谱范畴。
• 为这类模型范畴中的任意对象 $X$ 定义并研究加法同伦自同态谱 $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$。
• 证明 $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ 的同伦类型在加法性 Quillen 等价函子下保持不变。
• 发展对称单幕模型范畴上伴随模的理论，以实现在 Quillen 等价之间传递丰富化。

提出的方法

• 将加法模型范畴定义为一个稳定、组合性的模型范畴，其同伦集构成阿贝尔群，且复合运算是双加法的，同时与模型结构相容。
• 利用丰富化模型范畴的框架，为任意稳定、加法、组合性模型范畴 $\mathcal{M}$ 构造一个典范的模型丰富化 $\sigma_{\mathcal{M}} \in ME_0({\mathcal{M}}, Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b))$。
• 将 $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ 定义为从 $\sigma_{\mathcal{M}}(\hat{X},\hat{X})$ 获得的 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 中的环对象，其中 $\hat{X}$ 是 $X$ 的纤维可换-纤维可换替换。
• 利用伴随模理论比较 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 和链复形上的丰富化，表明丰富化可以在 Quillen 等价之间传递。
• 应用 Quillen 等价技术，证明对于加法性 Quillen 等价函子，有 $L_*(\sigma_{\mathcal{M}}) = \sigma_{\mathcal{N}}$ 与 $L^*(\sigma_{\mathcal{N}}) = \sigma_{\mathcal{M}}$。
• 利用单幕 Quillen 对与模范畴的结果，证明加法模型范畴之间的 Quillen 等价下，丰富化得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 加法模型范畴的定义条件是什么？它们与链复形和微分分次模等标准例子有何关系？
• RQ2 如何为稳定、组合性、加法模型范畴在 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上实现典范丰富化？
• RQ3 加法自同态谱 $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ 的同伦论意义是什么？它在 Quillen 等价下如何表现？
• RQ4 能否在 Quillen 等价之间传递 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上的丰富化？它与链复形上的丰富化有何关系？
• RQ5 伴随模在比较 Quillen 等价模型范畴之间的丰富化时起什么作用？

主要发现

• 任意稳定、加法、组合性模型范畴 $\mathcal{M}$ 都允许在 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b}$ 上具有典范的模型丰富化，记为 $\sigma_{\mathcal{M}}$。
• 从 $\sigma_{\mathcal{M}}(\hat{X},\hat{X})$ 构造的加法同伦自同态谱 $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ 在 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 中的环对象同伦范畴内是唯一确定的（模同构）。
• $\operatorname{hEnd}_{ad}(X)$ 的同伦类型在加法性 Quillen 等价函子下保持不变，意味着在加法模型范畴之间的 zig-zag Quillen 等价路径上传递时，该同伦类型也被保持。
• 丰富化 $\sigma_{\mathcal{M}}$ 在加法模型范畴之间的 Quillen 等价下保持不变，满足 $L_*(\sigma_{\mathcal{M}}) = \sigma_{\mathcal{N}}$ 与 $L^*(\sigma_{\mathcal{N}}) = \sigma_{\mathcal{M}}$。
• 伴随模理论使得 $Sp^\Sigma(s\mathcal{A}b)$ 上的丰富化可以传递到链复形 $Ch$ 上的丰富化，表明这些丰富化是 Quillen 等价的。
• 该构造提供了一个关键工具，用于区分加法性 Quillen 等价范畴与非加法性 Quillen 等价范畴，如文献 [DS2] 所示。