[论文解读] Entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states

Xiaoguang Wang, Barry C. Sanders+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2000

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 71

一句话总结

本文基于 SU(2) 和 SU(1,1) 李群引入并分析了纠缠相干态，将谐振子系统的纠缠相干态推广至自旋系统与非紧致群系统。通过多体相干态的叠加构造了纠缠 SU(2) 和 SU(1,1) 相干态，推导出纠缠二项式、负二项式及压缩态作为特例，并展示了其收缩至谐振子系统纠缠相干态的过程。主要贡献在于为非紧致与紧致量子群中的纠缠相干态提供了一个统一框架，明确实现了生成与纠缠度量。

ABSTRACT

Entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states are developed as superpositions of multiparticle SU(2) and SU(1,1) coherent states. In certain cases, these are coherent states with respect to generalized su(2) and su(1,1) generators, and multiparticle parity states arise as a special case. As a special example of entangled SU(2) coherent states, entangled binomial states are introduced and these entangled binomial states enable the contraction from entangled SU(2) coherent states to entangled harmonic oscillator coherent states. Entangled SU(2) coherent states are discussed in the context of pairs of qubits. We also introduce the entangled negative binomial states and entangled squeezed states as examples of entangled SU(1,1) coherent states. A method for generating the entangled SU(2) and SU(1,1) coherent states is discussed and degrees of entanglement calculated. Two types of SU(1,1) coherent states are discussed in each case: Perelomov coherent states and Barut-Girardello coherent states.

研究动机与目标

• 开发基于 SU(2) 和 SU(1,1) 李群的纠缠相干态统一框架，超越谐振子系统。
• 将纠缠相干态推广至非紧致（SU(1,1)）与紧致（SU(2)）量子群，涵盖 Perelomov 与 Barut-Girardello 类型。
• 识别并构造特定纠缠态，如纠缠二项式、负二项式及压缩态，作为一般形式的特例。
• 证明纠缠 SU(2) 和 SU(1,1) 相干态可收缩为纠缠谐振子相干态。
• 提出基于哈密顿量的生成方法，并利用基于相关性的度量方法量化其纠缠程度。

提出的方法

• 本文通过涉及测度 $ d\tilde{\mu}(\tilde{\xi}) $ 和权函数 $ f(\tilde{\xi}) $ 的通用积分形式，将多体相干态的叠加推广至纠缠 SU(2) 和 SU(1,1) 相干态，推广了谐振子情形。
• 区分两种 SU(1,1) 相干态：Perelomov 相干态（通过群作用于最低权态）与 Barut-Girardello 相干态（下降算符的本征态），两者均扩展为纠缠形式。
• 形式化使用不同的测度：$ d\mu(\vec{\gamma}) $ 用于 SU(2)，$ d\mu_P(\vec{\eta}) $ 用于 Perelomov SU(1,1)，$ d\mu_{BG}(\vec{\eta}) $ 用于 Barut-Girardello SU(1,1)，每种均适配于群结构。
• 通过选择特定权函数 $ f(\tilde{\xi}) $（如狄拉克函数组合或二进制配置之和），将纠缠二项式与负二项式态推导为特例。
• 通过取 SU(2) 与 SU(1,1) 参数的适当极限，展示其收缩至谐振子系统纠缠相干态的过程，使广义态退化为标准相干态叠加。
• 提出基于 $ J_z^2 $ 与 $ K_z^2 $ 非线性项的哈密顿量演化，作为量子系统中生成这些纠缠态的物理机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将纠缠相干态从谐振子系统推广至非紧致（SU(1,1)）与紧致（SU(2)）李群？
• RQ2 纠缠 SU(2) 与 SU(1,1) 相干态的具体形式是什么？它们与已知物理态（如二项式、负二项式及压缩态）有何关系？
• RQ3 纠缠 SU(2) 与 SU(1,1) 相干态能否收缩为纠缠谐振子相干态？其极限过程如何？
• RQ4 这些纠缠相干态在量子系统中的物理生成机制是什么？如何通过哈密顿量演化实现？
• RQ5 如何量化这些广义相干态中的纠缠程度，特别是当组成态非正交时？

主要发现

• 纠缠 SU(2) 相干态作为多体 SU(2) 相干态的叠加被构造，当权函数为狄拉克函数对称叠加时，纠缠二项式态作为特例出现。
• 纠缠 SU(1,1) 相干态以 Perelomov 与 Barut-Girardello 形式推导，其中纠缠压缩态与纠缠负二项式态为具体实例。
• 本文证明，通过取群参数的适当极限，纠缠 SU(2) 与 SU(1,1) 相干态可收缩为纠缠谐振子相干态。
• 秀尔算法中的量子傅里叶变换态可表示为纠缠 SU(2) 相干态，其中态 $ |a\rangle $ 为多体 SU(2) 相干态的乘积，变换后态为二进制配置的叠加。
• 利用基于相关性的度量方法量化纠缠程度，结果表明纠缠度从无纠缠的乘积态到最大纠缠态，依参数选择而变化。
• 提出基于 $ J_z^2 $ 与 $ K_z^2 $ 非线性项的哈密顿量演化作为生成这些纠缠态的物理方法，但指出其对退相干敏感。