[论文解读] Entanglement area law and Lieb-Schultz-Mattis theorem in long-range interacting systems, and symmetry-enforced long-range entanglement

R. Liu, Jinmin Yi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2024

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文为具有长程相互作用的量子自旋链建立了广义的Lieb-Schultz-Mattis定理，证明了在快速衰减的相互作用（$1/r^{rak{a}}$，$rak{a}>2$）和异常对称性的系统中，不可能存在唯一的能隙对称基态。此外，还表明此类系统中的任意纯对称态都必须是长程纠缠的，将LSM约束从基态推广至更广泛的对称性类别，包括连续对称性和非局域内部对称性。

ABSTRACT

We establish multiple interrelated, fundamental results in quantum many-body systems that can have long-range interactions. For a sufficiently long quantum spin chain, we first show that if the multi-spin interactions in the Hamiltonian decay fast enough as their ranges increase and the Hamiltonian is gapped, then the ground states satisfy the entanglement area law, even if there is a ground state degeneracy due to a spontaneously broken discrete symmetry. This area law also holds for certain excited states. Second, if such a long-range interacting Hamiltonian has an anomalous symmetry, then the Lieb-Schultz-Mattis theorem applies, i.e., the Hamiltonian cannot have a unique gapped symmetric ground state. If the Hamiltonian contains only 2-spin interactions, these results hold when the interactions decay faster than $1/r^2$, with $r$ the distance between the two interacting spins. Third, we show that pure states with an anomalous symmetry, which may not be a ground state of any natural Hamiltonian, must be long-range entangled. The symmetries we consider include on-site internal symmetries combined with lattice translation symmetries, and they can also extend to purely internal but non-on-site symmetries. Moreover, these internal symmetries can be discrete or continuous. We explore the applications of these results through various examples.

研究动机与目标

• 将Lieb-Schultz-Mattis定理推广至长程相互作用的量子自旋链，特别是衰减为$1/r^{rak{a}}$且$rak{a}>2$的系统。
• 建立具有异常对称性的系统——如局域内部对称性与晶格平移的组合，或纯粹非局域内部对称性——无法支持唯一能隙对称基态的结论。
• 将定理推广至所有纯对称态，而不仅限于基态，证明它们必须是长程纠缠的。
• 通过整合长程相互作用和更广泛的对称结构（包括连续和离散对称性），统一并扩展先前的LSM型约束。
• 为实际模型（如长程伊辛模型和偶极自旋模型）提供适用框架，对相分类和拓扑序具有启示意义。

提出的方法

• 采用无限系统中的算子代数形式化方法定义局域性和对称性作用，从而对长程相互作用进行严格处理。
• 利用群上同调$H^3(G;U(1))$中的异常指标对异常对称性进行分类和表征，特别是在$G = O(2) imes bZ$或$bZ_2$的背景下。
• 通过相互作用衰减的可容许性条件，推导出不存在唯一能隙对称基态的充分条件，特别要求对于两体相互作用有$rak{a}>2$。
• 通过取热力学极限，将形式化方法应用于有限系统，确保结果对实际系统具有物理意义。
• 构造显式模型，如长程$O(2) imesbZ$对称模型和非局域$bZ_2$对称哈密顿量，其中$J_{ij} o |i-j|^{-rak{a}}$，$rak{a}>2$，以验证定理。
• 利用对称性异常和纠缠结构，证明所有对称纯态都必须是长程纠缠的，无论其是否为基态。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lieb-Schultz-Mattis型定理能否推广至衰减为$1/r^{rak{a}}$的长程相互作用量子自旋链？
• RQ2 在何种相互作用衰减和对称性结构条件下，唯一能隙对称基态将变得不可能？
• RQ3 LSM约束是否可推广至所有纯对称态（而不仅限于基态），并是否强制实现长程纠缠？
• RQ4 这些定理能否适用于具有非局域内部对称性的系统，或连续对称性（如$O(2)$）的系统？
• RQ5 这些结果如何应用于实际的长程模型（如可调相互作用指数的偶极或里德堡原子链）？

主要发现

• 对于衰减为$1/r^{rak{a}}$的两体长程相互作用，当$rak{a}>2$时，LSM定理成立，若系统具有异常对称性，则排除唯一能隙对称基态的存在。
• 此类系统中的任意纯对称态——无论是否为基态——都必须是长程纠缠的，这是由对称性异常和相互作用衰减直接导致的结果。
• 该定理适用于广泛的对称性类别，包括局域内部对称性与晶格平移的组合、纯粹内部的非局域对称性，以及离散与连续群。
• 具有$O(2) imesbZ$对称性且长程$1/r^{rak{a}}$相互作用（$rak{a}>2$）的模型无法存在唯一能隙对称基态，与已知相图一致，显示仅存在无能隙或对称性破缺相。
• 长程$bZ_2$对称哈密顿量，其中$J_{ij} o |i-j|^{-rak{a}}$，$rak{a}>2$，要么是无能隙的，要么自发破缺$bZ_2$对称性，与定理一致。
• 只要保持相互作用衰减和对称性异常条件，结果对平移对称性的显式破缺也具有鲁棒性，凸显了异常和衰减速率的核心作用。