[论文解读] Entanglement-assisted quantum codes from Galois LCD codes

Xiusheng Liu, Hualu Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文利用有限域上的 $k$-Galois LCD MDS 码，构建了四类新的 MDS 量子纠错码（EAQECCs），这些码在纠缠辅助下实现纠错。通过利用码参数和循环结构的代数条件，作者推导出所需的辅助量子比特数 $c$ 的显式公式，避免了计算量大的搜索过程，从而得到具有最优参数的极大纠缠 EAQECCs。

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) make use of preexisting entanglement between the sender and receiver to boost the rate of transmission. It is possible to construct an EAQECC from any classical linear code, unlike standard quantum error-correcting codes, which can only be constructed from dual-containing codes. However, the parameter of ebits $c$ is usually calculated by computer search. In this paper, we construct four classes of MDS entanglement-assisted quantum error-correcting codes (MDS EAQECCs) based on $k$-Galois LCD MDS codes for some certain code lengths, where the parameter of ebits $c$ can be easily generated algebraically and not by computational search. Moreover, the constructed four classes of EAQECCs are also maximal-entanglement EAQECCs.

研究动机与目标

• 构建新型 MDS 纠缠辅助量子码，以提升效率并增强参数控制能力。
• 克服以往 EAQECC 构造方法中依赖计算机搜索来确定辅助量子比特数 $c$ 的局限性。
• 建立一种系统化的代数方法，利用 $k$-Galois LCD 码生成辅助量子比特参数 $c$。
• 证明所构造的 EAQECC 实现了极大纠缠，从而最大化传输速率。

提出的方法

• 以 $k$-Galois LCD 码为基础，该类码是经典 LCD 与 Hermitian LCD 码的推广。
• 应用 $\mathbb{F}_q$ 上 $\lambda$-循环码的理论，其中 $\lambda$ 是单位根的 $r$ 次本原根。
• 施加代数条件，如 $r \mid (q-1)$ 和 $r \nmid (1 + p^{e-k})$，以确保 $k$-Galois LCD 结构。
• 利用循环码的 BCH 界来保证最小距离 $d$。
• 采用纠缠辅助量子码的构造框架，从经典 $k$-Galois LCD 码推导出 $[[n,l,d;c]]_q$ 参数。
• 应用引理 3.3，将经典 $k$-Galois LCD MDS 码映射为具有代数推导出的 $c$ 的 MDS EAQECCs。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地利用 $k$-Galois LCD 码构造 MDS EAQECCs，并代数确定辅助量子比特数？
• RQ2 如何在不依赖计算机搜索的前提下生成辅助量子比特参数 $c$？
• RQ3 对码长 $n$、维度 $l$ 和最小距离 $d$ 的哪些代数条件可确保所构造 EAQECC 实现极大纠缠？
• RQ4 是否存在特定的循环码族，在 $k$-Galois 对偶性下能产生具有最优参数的 MDS EAQECCs？
• RQ5 该构造能否推广至包含偶数和奇数的素幂 $q = p^e$（$e \geq 2$）？

主要发现

• 构造了四类新的 MDS EAQECCs，参数为 $[[n,l,n-l+1;n-l]]_q$，其中 $n \leq q+1$，且 $c = n-l$ 由代数方法确定。
• 第二类构造出 $[[n,n+1-d,d;d-1]]_q$ 码，其中 $n = (q-1)/r$，$r \mid (q-1)$，$r \nmid (1 + p^{e-k})$，且 $2 \leq d \leq n$，$c = d-1$ 同样由代数方法推导。
• 当 $n = 2l$、$2l+1$ 或 $2l+2$ 时，在 $l$ 整除 $p^e - 1$ 但不整除 $p^k + 1$ 的条件下，可构造出 $[[2l,l,l+1;l]]_q$、$[[2l+1,l,l+2;l+1]]_q$ 和 $[[2l+2,l,l+3;l+2]]_q$ 码。
• 当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，构造出 $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l, 2l+1; 2l ]]_q$ EAQECCs，其中 $1 \leq l \leq (p-5)/4$；当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，得到 $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l + 1, 2l; 2l - 1 ]]_q$ 码，其中 $1 \leq l \leq (p-3)/4$。
• 所有构造出的 EAQECC 均为极大纠缠码，即 $c$ 达到给定 $n$ 和 $d$ 下的最大可能值，从而提升传输效率。
• 该方法避免了对 $c$ 的计算搜索，而是通过码的结构以及 $q = p^e$、$k$ 和 $r$ 的域论条件，代数化地推导出 $c$。