[论文解读] Entanglement-assisted quantum MDS codes from constacyclic codes with large minimum distance

Liangdong Lü, Wenping Ma+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种对循环码定义集的分解方法，用于构造四类新的 $q$-元纠缠辅助量子最大距离可分（EAQMDS）码。通过利用 $ackslash mathbb{F}_{q^2}$ 上的经典循环码 MDS 码，并仅使用 1 至 4 个预先共享的最大纠缠态，作者实现了最小距离大于已知量子 MDS 码的 EAQMDS 码，包括部分最小距离超过 $3q-1$ 的码，且大多数码在参数空间中为新码。

ABSTRACT

The entanglement-assisted (EA) formalism allows arbitrary classical linear codes to transform into entanglement-assisted quantum error correcting codes (EAQECCs) by using pre-shared entanglement between the sender and the receiver. In this work, we propose a decomposition of the defining set of constacyclic codes. Using this method, we construct four classes of $q$-ary entanglement-assisted quantum MDS (EAQMDS) codes based on classical constacyclic MDS codes by exploiting less pre-shared maximally entangled states. We show that a class of $q$-ary EAQMDS have minimum distance upper limit greater than $3q-1$. Some of them have much larger minimum distance than the known quantum MDS (QMDS) codes of the same length. Most of these $q$-ary EAQMDS codes are new in the sense that their parameters are not covered by the codes available in the literature.

研究动机与目标

• 构造具有改进参数的新一族纠缠辅助量子最大距离可分（EAQMDS）码。
• 减少 EAQECC 构造中所需的预共享最大纠缠态（ebits）数量。
• 将已知量子 MDS 码的最小距离扩展至 $q+1$ 限制以上，适用于 $n \leq q^2+1$ 的情形。
• 为循环码的定义集提供一种分解框架，以实现 EAQMDS 码的系统化构造。
• 证明所构造的 EAQMDS 码为新码，即其参数未被现有文献覆盖。

提出的方法

• 提出对 $ackslash mathbb{F}_{q^2}$ 上循环码定义集的分解方法，将先前针对循环码的工作扩展至循环码。
• 利用 EA 量子 Singleton 不等式确保所构造码为 MDS，要求 $n + c - k \geq 2(d-1)$。
• 应用 EA 量子稳定子形式：给定一个经典码 $ackslash mathcal{C}$，其校验矩阵为 $H$，则 EAQECC 的参数为 $[[n, 2k-n+c, d; c]]_q$，其中 $c = \text{rank}(HH^\dagger)$。
• 通过分析定义集中的分圆陪集与斜对称对，确定所需 ebits 数量 $c$。
• 利用长度为 $n = q^2+1$、$n = (q^2+1)/10$ 以及 $n = (q^2-1)/h$（$h \in \{3,5,7\}$）的循环码，构造四类 EAQMDS 码。
• 通过分析定义集的结构及分圆陪集中元素数量，建立最小距离 $d$ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对循环码定义集的分解是否能够实现构造具有更大最小距离的新 EAQMDS 码？
• RQ2 能否仅使用 1 或 4 个预共享 ebits，构造出最小距离大于 $3q-1$ 的 EAQMDS 码？
• RQ3 所构造的 EAQMDS 码是否在相同长度与域大小下，其最小距离超过已知标准 QMDS 码？
• RQ4 所提出的 EAQMDS 码是否为新码，即其参数未被现有文献覆盖？
• RQ5 对于长度 $n = q^2+1$ 的 $q$-元 EAQMDS 码，其可实现的最大最小距离是多少？

主要发现

• 新一类 $q$-元 EAQMDS 码 $[[q^2+1, q^2-2d+7, d; 4]]_q$ 在偶数 $d$ 满足 $q+3 \leq d \leq 3q-1$ 时，达到大于 $3q-1$ 的最小距离上界。
• 当 $q \equiv 3 \pmod{10}$ 时，码 $[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ 仅使用一个 ebit，即可实现高达 $6m+2$ 的偶数最小距离，其中 $q = 10m+3$。
• 当 $q \equiv 7 \pmod{10}$ 时，码 $[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ 仅使用一个 ebit，即可实现高达 $6m+4$ 的偶数最小距离，其中 $q = 10m+7$。
• 当 $h \in \{3,5,7\}$ 且 $h \mid (q+1)$ 时，码 $[[\frac{q^2-1}{h}, \frac{q^2-1}{h}-2d+3, d; 1]]_q$ 的最小距离 $d$ 范围为 $\frac{q+1}{h}+1 \leq d \leq \frac{(h+3)(q+1)}{2h}-1$，其距离超过已知标准 QMDS 码。
• 所有所构造的 EAQMDS 码均为新码，因其参数未被现有文献覆盖，尤其在长度、距离和纠缠代价方面。