[论文解读] Entanglement cost and distillable entanglement of symmetric states

Keiji Matsumoto|ArXiv.org|Aug 23, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文推导出支持在对称子空间上的量子态的纠缠代价和可 distill 纠缠的显式公式，表明在特定条件下——特别是当输入态的 Schmidt 基在相位意义下已知时——最优的 $n$ 到 $m$ 量子克隆态与 $m$ 个输入态的真实副本具有相同的纠缠测度（代价与可 distill 纠缠）。令人惊讶的是，尽管纠缠含量等价，但两种态在纠缠稀释与 distill 的误差指数上存在差异，凸显了在纠缠数量之外操作保真度的关键区别。

ABSTRACT

We compute entanglement cost and distillable entanglement of states supported on symmetric subspace. Not only giving general formula, we apply them to the output states of optimal cloning machines. Surprisingly, under some settings, the optimal n to m clone and true m copies are the same in entanglement measures. However, they differ in the error exponent of entanglement dilution. We also presented a general theory of entanglement dilution which is applicable to any non-i.i.d sequence of states.

研究动机与目标

• 计算非独立同分布（non-i.i.d.）量子态的纠缠代价与可 distill 纠缠，特别是支持在对称子空间上的态。
• 将通用纠缠浓缩推广至任意对称态，实现在不了解输入态前提下的纠缠 distill。
• 分析最优 $n$ 到 $m$ 克隆机输出态的纠缠性质，尤其在对输入态知识不同假设下的表现。
• 比较最优克隆态与 $m$ 个输入态真实副本的纠缠特性，重点关注纠缠测度与误差指数。

提出的方法

• 使用信息谱方法与平滑 R\'enyi 熵，推导非独立同分布态的纠缠代价与可 distill 纠缠的一般公式。
• 针对支持在对称子空间上的态，推导出无需最大化的纠缠代价与可 distill 纠缠公式，利用对称性消除优化复杂度。
• 将理论应用于 $n$ 到 $m$ 克隆机的输出态，假设 $m = rn$（$r$ 为常数），并考虑两种情形：已知 Schmidt 基（相位除外）与完全未知的纯态。
• 使用 Schmidt 系数的概率上极限与下极限定义渐近 regime 下的纠缠代价，基于纯态集合中 Schmidt 系数的分布。
• 利用大偏差界与熵函数（包括香农熵 $H$、二项熵 $h$ 与相对熵 $D$）分析纠缠稀释与 distill 的误差指数。
• 使用组合与熵界证明误差概率的收敛性，表明最优克隆态的纠缠代价上界为 $m$ 倍输入态的纠缠熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，最优 $n$ 到 $m$ 克隆机的输出态其纠缠代价与可 distill 纠缠与 $m$ 个输入态真实副本完全相同？
• RQ2 能否将通用纠缠浓缩从已知纯态推广至任意对称态？
• RQ3 尽管纠缠测度相同，最优克隆态与真实 $m$-副本态在纠缠稀释与 distill 的误差指数上为何不同？
• RQ4 当输入态完全未知时，$m$ 倍输入态纠缠熵是否为最优克隆态纠缠代价与可 distill 纠缠的紧上界？
• RQ5 当输入态非 i.i.d. 时，纠缠代价与可 distill 纠缠的操作意义为何，特别是在量子克隆的背景下？

主要发现

• 当输入态的 Schmidt 基在相位意义下已知时，最优 $n$ 到 $m$ 克隆机输出态的纠缠代价与可 distill 纠缠恰好为输入态纠缠熵的 $m$ 倍，与 $m$ 个真实副本完全一致。
• 尽管纠缠测度相同，最优克隆态与 $m$ 个真实副本在纠缠稀释与 distill 的误差指数上存在差异，表明存在根本性的操作性区别。
• 当输入态完全未知时，最优克隆态的纠缠代价上界为 $m$ 倍输入态的纠缠熵，作者推测该上界是紧的。
• 该理论实现了任意对称态的通用纠缠浓缩，即无需事先了解输入态，仅凭对称性即可实现 distill。
• 分析表明，纠缠稀释与 distill 的误差概率呈指数衰减，衰减速率由熵函数与相对熵项决定，当速率 $R$ 超过态分布的熵时，该界收敛于零。
• 在已知 Schmidt 基的情况下，最优克隆态的纠缠代价与可 distill 纠缠恰好等于 $m$ 个副本的值，表明尽管物理实现方式不同，其纠缠含量却出人意料地一致。