[论文解读] Entanglement entropy and conformal field theory

Pasquale Calabrese, John Cardy|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文提出了一套全面的共形场论（CFT）框架，用于计算1+1维量子系统中的纠缠熵，采用复制技巧和扭场将问题映射到黎曼曲面上的配分函数。关键结果是普遍的对数标度 $ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $，其中 $ c $ 为中心电荷，表明纠缠熵可作为量子多体系统中临界性与普遍性的直接探测工具。

ABSTRACT

We review the conformal field theory approach to entanglement entropy. We show how to apply these methods to the calculation of the entanglement entropy of a single interval, and the generalization to different situations such as finite size, systems with boundaries, and the case of several disjoint intervals. We discuss the behaviour away from the critical point and the spectrum of the reduced density matrix. Quantum quenches, as paradigms of non-equilibrium situations, are also considered.

研究动机与目标

• 建立一种严格的基于CFT的方法，用于计算临界1+1D量子多体系统中的纠缠熵。
• 将纠缠熵公式推广至有限尺寸系统、边界、缺陷以及多个不相交区间的情形。
• 分析约化密度矩阵的谱及其共形标度性质。
• 通过量子淬火研究非平衡动力学，并提出通过点接触中的量子噪声实现实验探测的方案。
• 将纠缠熵与可观测量（如量子点接触中的电荷输运累积量）联系起来。

提出的方法

• 应用复制技巧：计算Rényi熵 $ S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n}\ln{\rm Tr}\,\rho_A^n $，然后解析延拓至 $ n \to 1 $。
• 将复制配分函数映射到在纠缠点插入扭场的 $ n $-叶黎曼曲面路径积分。
• 利用CFT技术计算分支覆盖空间上的配分函数，通过对数发散提取纠缠熵。
• 推导出临界系统中单个区间纠缠熵的普遍标度 $ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $。
• 通过计算扭场关联函数并分析其共形维数，将结果推广至多个区间。
• 通过 $ S_A = \sum_{m>0} \frac{\alpha_m}{m!} C_m $ 将量子点接触中电荷输运的全计数统计与纠缠熵关联，其中 $ \alpha_m $ 涉及伯努利数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用共形场论计算1+1维临界系统中单个区间纠缠熵？
• RQ2 在有限尺寸系统、有限温度、或存在边界与缺陷时，纠缠熵的行为如何？
• RQ3 在具有多个不相交区间的系统中，纠缠熵如何标度，特别是两个区间的情形？
• RQ4 小质量项（边际或相关扰动）对纠缠熵普遍对数标度有何影响？
• RQ5 能否通过点接触中的量子噪声实验测量纠缠熵？

主要发现

• 在1+1维临界系统中，单个区间的纠缠熵普遍标度为 $ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $，其中 $ c $ 为中心电荷，$ \ell $ 为区间长度。
• 在局域量子淬火下，纠缠熵随时间对数增长，形式为 $ S_A \sim \frac{1}{3}\ln|t_1 - t_0| $，系数与中心电荷相关。
• 在存在量子点接触时，透射电荷的全计数统计可给出可观测的累积量 $ C_m $，其与纠缠熵的关系为 $ S_A = \sum_{m>0} \frac{\alpha_m}{m!} C_m $。
• 对于自由费米子（$ c=1 $），噪声为高斯分布，满足 $ C_2 \sim \frac{1}{\pi^2}\ln\frac{t_1 - t_0}{\tau} $，从而得到 $ S_A \sim \frac{1}{3}\ln|t_1 - t_0| $，与CFT预测一致。
• 在Luttinger液体等相互作用系统中，噪声仍为对数形式，但系数依赖于填充因子 $ \nu $，而非中心电荷。
• 在伊辛模型中，噪声为代数形式而非对数形式，表明全计数统计与纠缠熵之间的关系在所有普适类中并非普遍成立。