[论文解读] Entanglement Entropy for Descendent Local Operators in 2D CFTs

Bin Chen, Wu-zhong Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用 11

一句话总结

本论文研究了二维有理共形场论（CFT）中局部后代算符的Rényi熵与纠缠熵，表明当后代算符由 $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ 作用于原初算符生成时，熵的增加恰好等于原初算符的对数量子维数。对于涉及混合Virasoro生成元的一般后代算符，会出现额外的纠缠修正项，而微扰变形则会进一步贡献于局域激发之外的熵。

ABSTRACT

We mainly study the Rényi entropy and entanglement entropy of the states locally excited by the descendent operators in two dimensional conformal field theories (CFTs). In rational CFTs, we prove that the increase of entanglement entropy and Rényi entropy for a class of descendent operators, which are generated by $\cal{L}^{(-)}\bar{\cal{L}}^{(-)}$ onto the primary operator, always coincide with the logarithmic of quantum dimension of the corresponding primary operator. That means the Rényi entropy and entanglement entropy for these descendent operators are the same as the ones of their corresponding primary operator. For 2D rational CFTs with a boundary, we confirm that the Rényi entropy always coincides with the logarithmic of quantum dimension of the primary operator during some periods of the evolution. Furthermore, we consider more general descendent operators generated by $\sum_{} d_{\{n_i\}\{n_j\}}(\prod_{i} L_{-n_i}\prod_{j}{\bar L}_{-n_j})$ on the primary operator. For these operators, the entanglement entropy and Rényi entropy get additional corrections, as the mixing of holomorphic and anti-holomorphic Virasoro generators enhance the entanglement. Finally, we employ perturbative CFT techniques to evaluate the Rényi entropy of the excited operators in deformed CFT. The Rényi and entanglement entropies are increased, and get contributions not only from local excited operators but also from global deformation of the theory.

研究动机与目标

• 将先前关于二维CFT中纠缠熵的研究从原初算符扩展到局部后代算符。
• 理解后代算符的结构——特别是同时涉及全纯与反全纯Virasoro生成元的后代算符——对纠缠熵的影响。
• 分析边界CFT（BCFT）中后代激发下Rényi熵与纠缠熵的行为。
• 研究局域激发与全局形变对微扰CFT中Rényi熵的联合影响。

提出的方法

• 使用复制技巧通过 $ S_n^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\operatorname{Tr}(\rho_A^n) $ 计算Rényi熵，并通过对 $ n \to 1 $ 的解析延拓获得冯诺依曼熵。
• 应用共形场论技术，包括算符乘积展开（OPEs）与共形映射，以在坐标变换下变换相关函数。
• 在极小模型中显式计算简单后代态的Rényi熵，以验证其与对数量子维数的一致性。
• 推导一般后代算符 $ \prod L_{-n_i} \prod \bar{L}_{-n_j} O $ 的共形变换规则，包括应力张量后代。
• 利用保持共形对称性的边界条件分析边界CFT，计算Rényi熵的时间演化。
• 对形变CFT中的Rényi熵进行微扰计算，将局域激发与全局形变的贡献分离开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维有理CFT中，若后代算符由 $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ 生成，其Rényi熵与纠缠熵是否与对应原初算符的熵完全一致？
• RQ2 混合全纯与反全纯Virasoro后代算符在原初算符的量子维数之外，如何影响纠缠熵？
• RQ3 在边界CFT中，即使经过时间演化，后代态的Rényi熵是否仍能达到等于原初算符对数量子维数的最大值？
• RQ4 对于涉及多个 $ L_{-n} $ 与 $ \bar{L}_{-n} $ 生成元的一般后代算符，Rényi熵的额外修正项具有何种结构？
• RQ5 在CFT的全局形变下，除了局域激发项外，全局形变对局域激发后代态的Rényi熵有何贡献？

主要发现

• 当后代算符由 $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ 作用于原初算符生成时，Rényi熵与纠缠熵的增加恰好等于原初算符的对数量子维数 $ \log d_p $。
• 在具有边界的二维有理CFT中，后代态的Rényi熵仍能达到最大值 $ \log d_p $，尽管边界会修改其时间演化行为。
• 对于涉及多个 $ L_{-n_i} $ 与 $ \bar{L}_{-n_j} $ 生成元的一般后代算符，由于全纯与反全纯扇区之间的混合，会出现额外的纠缠修正项。
• 微扰分析表明，形变CFT中的Rényi熵是局域激发与全局形变贡献之和，后者源于形变哈密顿量。
• 在极小模型中的显式计算表明，简单后代算符的 $ \Delta S^{(2)} $ 与 $ \log d_p $ 一致，支持了普遍结果。
• 系统地推导了后代算符在坐标变换下的共形变换规则，从而实现了在复制技巧框架下相关函数的计算。