[论文解读] Entanglement Entropy for Disjoint Subsystems in XX Spin Chain

Bai-Qi Jin, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Quantum many-body systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过自由费米子技术，提出了XX自旋链基态中多个不连续区间纠缠熵的精确行列式表达式。通过将费米子映射推广至非连续子系统，推导出一种分块托普利茨行列式表示，从而实现对Rényi熵和冯·诺依曼熵的解析处理。关键结果表明，在无限尺寸极限下，即使处于临界相，两个长度相等、等距分离的区间之间的互信息仍趋于零。

ABSTRACT

Fisher-Hartwig formula has been successful applied to describe the von Neumann and Rényi entropies of a block of spins in the ground state of XX spin chain. It was based on a determinant representation. In this paper, we generalize the free fermion method to obtain an exact formulation for the entropy of any finite subsystem in XX spin chain. Based on this, we derive a determinant representation of the entropy of multiple disjoint intervals in the ground state of $XX$ model.

研究动机与目标

• 将自由费米子方法推广至非连续子系统，以推导XX自旋链中多个不连续区间的精确纠缠熵。
• 利用马约拉纳费米子算符和维克定理，建立非连续子系统约化密度矩阵的行列式表示。
• 分析临界XX链中两个不连续区间之间的互信息，并确定其渐近行为。
• 为具有非相邻子系统的扩展量子自旋系统中纠缠熵的解析处理提供框架。

提出的方法

• 通过约当-维尔纳变换将XX自旋链映射为自由马约拉纳费米子系统，并定义两组马约拉纳算符：一组用于整个链条，另一组限制在子系统A上。
• 利用维克定理计算子系统A上受限马约拉纳算符的全部两点关联函数 ⟨GS|~cₘ~cₙ|GS⟩，其结果取决于A和B中自旋位点的位置。
• 构建一个表示约化密度矩阵关联结构的分块矩阵A，其中块对应于A中的区间，非对角块编码了B中间隙处的关联。
• 通过相关矩阵A的本征值表达纠缠熵，使用冯·诺依曼熵公式 S = -∑ᵢ λᵢ log λᵢ + (1 - λᵢ) log(1 - λᵢ)。
• 将熵表示为分块托普利茨型矩阵 Tₘₙ 的行列式，其生成元依赖于XX模型的傅里叶符号 g(θ)。
• 应用费舍尔-哈特维格公式分析行列式的渐近行为，特别是两个不连续区间之间互信息的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由费米子方法能否推广至计算XX自旋链中非连续、多组不连续区间的纠缠熵？
• RQ2 在XX模型基态中，由不连续区间组成的子系统，其约化密度矩阵的结构如何？
• RQ3 在热力学极限下，两个不连续区间之间的互信息如何标度，特别是在临界相中？
• RQ4 能否为多个不连续区间的纠缠熵推导出行列式表示，以实现解析分析？
• RQ5 即使系统处于量子临界点，两个分离区间的互信息是否在无限尺寸极限下趋于零？

主要发现

• 通过自由费米子技术和关联矩阵，推导出XX自旋链中任意有限非连续子系统纠缠熵的精确行列式表达式。
• 不连续子系统的约化密度矩阵通过一个分块托普利茨型关联矩阵表示，其本征值决定了冯·诺依曼熵和Rényi熵。
• 对于临界XX链中长度为m、间距为m的两个不连续区间，互信息 I_{A₁:A₂} 在大m下通过数值计算得出。
• 随着m增大，互信息减小，并在 m → ∞ 时趋于零，表明区间的渐近独立性。
• 该结果证实，即使在临界相中，当区间长度和间距同时趋于无穷时，不连续区间间的长程纠缠仍会消失。
• 本文建立了一个通用框架，用于对具有非相邻子系统的扩展量子自旋系统中的纠缠熵进行解析研究。