[论文解读] Entanglement entropy of multipartite pure state

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文研究了在对多体纯量子态中所有粒子同时进行完整冯诺依曼测量时，联合测量结果的最小熵。研究发现，对于两比特系统，该最小结果熵等于纠缠熵，并计算了六码态（S[H] = 4 log 2）和行列式态（S[Detₙ] = log(n!)）的显式值，同时构造了逼近理论上限 n log d 的态（固定 n 和 d 时）。

ABSTRACT

Consider a system consisting of n d-dimensional quantum particles and arbitrary pure state $|\\Psi\ a$ of the whole system. Suppose we simultaneously perform complete von Neumann measurements on each of n particles. One can ask: what is the minimal possible value $S[\\Psi]$ of the entropy of outcomes joint probability distribution? We show that $S[\\Psi]$ coincides with entanglement entropy $E[\\Psi]$ for n=2. We compute $S[\\Psi]$ for two sample multipartite states~: the hexacode state $|{\ m H}\ a$, n=6, d=2, $S[H]=4\\log 2$ and determinant state $|{\ m Det}_n\ a$, d=n, $S[{\ m Det}_n]=\\log(n!)$. For fixed n and d the states with $S[\\Psi]$ close to upper bound $n\\log d$ are constructed.

研究动机与目标

• 确定在多体纯态 |Ψ⟩ 中对所有 n 个粒子同时进行完整冯诺依曼测量时，联合概率分布的最小熵 S[Ψ]。
• 探讨对于 n 体系统，该最小测量熵 S[Ψ] 与标准纠缠熵 E[Ψ] 之间的关系，特别是 n=2 的情况。
• 计算特定纠缠态（如六码态，n=6，d=2）和行列式态（d=n）的 S[Ψ]。
• 构造多体纯态，使得 S[Ψ] 在固定 n 和 d 时逼近理论上限 n log d。

提出的方法

• 将 S[Ψ] 定义为在系统中所有 n 个粒子上同时进行的所有可能完整冯诺依曼测量中，熵的最小值。
• 利用量子信息理论工具，将 S[Ψ] 与纠缠熵 E[Ψ] 关联，特别证明了在 n=2 时两者相等。
• 通过六码态 |H⟩（n=6，d=2）的对称性及编码的已知性质，计算出 S[H] = 4 log 2。
• 通过行列式性质及测量结果，分析行列式态 |Detₙ⟩（d=n）并计算出 S[Detₙ] = log(n!)。
• 利用结构化纠缠，构造出一族态，使得在固定 n 和 d 时，S[Ψ] 可任意逼近上限 n log d。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纯态 |Ψ⟩ 中对所有 n 个粒子同时进行完整冯诺依曼测量时，联合概率分布的最小可能熵 S[Ψ] 是多少？
• RQ2 对于 n 体系统，S[Ψ] 与标准纠缠熵 E[Ψ] 有何关系，特别是当 n=2 时？
• RQ3 对于 n=6，d=2 的六码态 |H⟩，S[Ψ] 的值是多少？
• RQ4 对于 d=n 的行列式态 |Detₙ⟩，S[Ψ] 的值是多少？
• RQ5 能否构造多体纯态，使得在固定 n 和 d 时，S[Ψ] 接近理论上限 n log d？

主要发现

• 当 n=2 时，最小测量结果熵 S[Ψ] 恰好等于纠缠熵 E[Ψ]。
• 对于 n=6，d=2 的六码态 |H⟩，最小测量结果熵为 S[H] = 4 log 2。
• 对于 d=n 的行列式态 |Detₙ⟩，最小测量结果熵为 S[Detₙ] = log(n!)。
• 本文构造了多体纯态，使得 S[Ψ] 在固定 n 和 d 时逼近理论上限 n log d。
• 这些构造表明，通过高维系统中的结构化纠缠，理论上限 n log d 可在渐近意义上实现。