[论文解读] Entanglement Entropy of Systems with Spontaneously Broken Continuous Symmetry

Max A. Metlitski, Tarun Grover|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Quantum many-body systems被引用 74

一句话总结

本文推导了具有自发性连续对称性破缺的量子系统的纠缠熵，揭示了普遍存在的对数亚主导修正项，其形式为 $\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$，其中 $N_G$ 为戈尔戈斯模式的数量，$d$ 为空间维度。该修正项源于戈尔戈斯模式与有限体积对称性恢复之间的相互作用，即使在子系统边界平滑的情况下亦存在，且通过在黎曼面上进行场论与副本技巧计算得到验证。

ABSTRACT

We study entanglement properties of systems with spontaneously broken continuous symmetry. We find that in addition to the expected area law behavior, the entanglement entropy contains a subleading contribution which diverges logarithmically with the subsystem size in agreement with the Monte Carlo simulations of A. Kallin et. al. (Phys. Rev. B 84, 165134 (2011)). The coefficient of the logarithm is a universal number given simply by $N_G (d-1)/2$, where $N_G$ is the number of Goldstone modes and $d$ is the spatial dimension. This term is present even when the subsystem boundary is straight and contains no corners, and its origin lies in the interplay of Goldstone modes and restoration of symmetry in a finite volume. We also compute the "low-energy" part of the entanglement spectrum and show that it has the same characteristic "tower of states" form as the physical low-energy spectrum obtained when a system with spontaneously broken continuous symmetry is placed in a finite volume.

研究动机与目标

• 理解具有自发性连续对称性破缺的量子系统中纠缠熵的结构，特别是面积律之外的亚主导修正项。
• 解决蒙特卡洛模拟显示对数修正与标度不变系统中平滑边界下此类修正应消失的预期之间的明显矛盾。
• 确定纠缠熵中对数项的起源，源于戈尔戈斯模式与有限体积对称性恢复之间的相互作用。
• 计算纠缠谱的低能部分，并展示其具有与有限体积中物理低能谱类似的“能级塔”结构。

提出的方法

• 使用 $n$-叶黎曼面的副本技巧计算雷尼纠缠熵，将问题映射到分支覆盖空间上的场论。
• 将低能有效理论建模为 $N_G$ 个无质量标量场（戈尔戈斯模式），具有自旋刚度 $\rho_s$，采用非线性 σ 模型作用量。
• 在分支切割处对场施加扭曲边界条件，以考虑绕数扇区，扭曲由绕数 $r_k$ 决定。
• 对涨落 $\delta\phi$ 进行路径积分，并计算配分函数 $Z_n^{h=0}$，将背景 $\phi_r$ 与量子涨落的贡献分离开来。
• 利用拉普拉斯方程的解评估非零绕数下的作用量 $S[\phi_r]$，边界条件为 $\phi_k(\tau) = \phi_{k+1}(\tau - \beta) + 2\pi r_k$，得到 $r_k$ 的二次型。
• 使用雅可比 theta 函数 $\nu(q) = \sum_r q^{r^2}$ 对绕数扇区求和，并在低温极限下推导出纠缠熵中的对数依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何蒙特卡洛模拟在二维海森伯模型中观察到纠缠熵的对数修正，尽管子系统边界无角点或奇点？
• RQ2 具有自发性连续对称性破缺的系统中，纠缠熵的亚主导对数项的起源是什么？
• RQ3 纠缠谱如何反映有限体积中物理低能谱的低能结构？
• RQ4 为何当子系统边界平滑且无角点时，对数修正仍持续存在？

主要发现

• 即使边界平滑，纠缠熵仍包含普遍对数修正项 $\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$，其中 $N_G$ 为戈尔戈斯模式数量，$d$ 为空间维度。
• 对数修正源于戈尔戈斯模式与有限体积中对称性恢复之间的相互作用，而非几何奇点。
• 纠缠谱的低能部分表现出与有限体积中物理低能谱完全相同的“能级塔”结构。
• 副本技巧中绕数的求和导致在低温极限下纠缠熵呈现对数依赖，其系数由戈尔戈斯模式数量与维度共同决定。
• 对数项的系数是普遍的，且与短距离截断无关，证实了与数值模拟的一致性。
• 仅当正确包含绕数求和时，亚主导对数项才能在 $T \to 0$ 极限下持续存在，从而解决了场论推导中先前存在的明显矛盾。