[论文解读] Entanglement-magic separation in hybrid quantum circuits

Gerald E. Fux, Emanuele Tirrito+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文展示了在具有可控T门注入和投影测量的混合量子线路中，魔性（magic）——以稳定子熵为度量——存在一种由测量引发的相变。与在不同测量速率下发生体积律到面积律转变的纠缠不同，魔性表现出一种独立的相变，揭示了非 Clifford 资源可免受测量诱导抑制的影响，凸显了在纠缠之外的量子优势资源理论的新层面。

ABSTRACT

Magic describes the distance of a quantum state to its closest stabilizer state. It is -- like entanglement -- a necessary resource for a potential quantum advantage over classical computing. We study magic, quantified by stabilizer entropy, in a hybrid quantum circuit with projective measurements and a controlled injection of non-Clifford resources. We discover a phase transition between a (sub)-extensive and area law scaling of magic controlled by the rate of measurements. The same circuit also exhibits a phase transition in entanglement that appears, however, at a different critical measurement rate. This mechanism shows how, from the viewpoint of a potential quantum advantage, hybrid circuits can host multiple distinct transitions where not only entanglement, but also other non-linear properties of the density matrix come into play.

研究动机与目标

• 研究魔性是否如同纠缠，在混合量子线路中经历由测量引发的相变。
• 确定魔性相变的临界测量速率是否与纠缠相变的临界速率不同。
• 探讨非 Clifford 资源（通过 T 门实现）在稳定魔性以抵抗测量诱导抑制中的作用。
• 建立魔性标度与测量速率和 T 门密度关系的相图。
• 阐明魔性和纠缠相变独立存在对量子优势和量子误差纠正的含义。

提出的方法

• 本研究采用一维混合量子线路，包含随机 Clifford 门、投影测量以及可调密度的 T 门控制注入。
• 通过稳定子熵来量化魔性，即非稳定子资源含量的度量。
• 通过大量随机轨迹的蒙特卡洛采样模拟系统，以计算稳态下的魔性和纠缠熵。
• 将 T 门密度缩放为 $ \eta/N^\beta $，从而分析不同 $ \beta $ 下的热力学极限，包括 $ \beta = 1 $ 和 $ \beta < 1 $。
• 为提升分析可解性，引入一个单体位点 Clifford 门的可分模型，实现魔性标度的精确推导：$ \bar{\mathcal{M}}_{\mathrm{ss}} \propto N^{1-\beta} $。
• 通过分析标度行为（亚广延与面积律）识别相变：临界速率通过数值与解析方法确定。

Figure 1: Phase transitions in entanglement (a) compared to the possible phase transitions in entanglement and magic (b) in one–dimensional quantum circuits. Quantum circuits in phase I may lead to an advantage over classical computing, while circuits in phases II and III are amenable to simulation

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合量子线路中，魔性是否表现出与纠缠相变不同的测量诱导相变？
• RQ2 魔性从（亚）广延标度过渡到面积律标度的测量速率是多少？该速率与纠缠相变速率相比如何？
• RQ3 以 $ \eta/N^\beta $ 缩放的 T 门密度如何影响热力学极限下魔性的标度行为？
• RQ4 稳定子形式或张量网络方法能否模拟出在高测量速率下魔性仍保持（亚）广延标度的线路？
• RQ5 两比特 Clifford 门在保护魔性免受测量诱导退化中起到何种作用？

主要发现

• 本文识别出魔性中存在一种独特的测量诱导相变，其临界测量速率 $ p_c^{\text{magic}} $ 与纠缠相变的临界速率 $ p_c^{\text{ent}} $ 不同，证明魔性和纠缠由不同机制支配。
• 在低测量速率区域，纠缠和魔性均呈（亚）广延标度，表明该相中两类资源均具有鲁棒性。
• 在中等测量速率下，纠缠过渡到面积律，而魔性仍保持（亚）广延标度，定义了一个尽管纠缠减少但量子优势仍可能实现的相。
• 在高测量速率下，纠缠和魔性均过渡到面积律标度，系统进入经典可模拟的范畴。
• 可分模型的解析结果确认，当 $ \beta < 1 $ 时，魔性标度为 $ \bar{\mathcal{M}}_{\mathrm{ss}} \propto N^{1-\beta} $，当 $ \beta = 1 $ 时保持恒定，当 $ \beta > 1 $ 时消失，表明魔性对 T 门密度缩放具有临界依赖性。
• 完整线路中两比特 Clifford 门的存在增强了对魔性的保护，表明纠缠可作为屏障，防止非 Clifford 资源受测量诱导退化。

Figure 2: Hybrid quantum circuit with a brickwork structure of random 2–site Clifford gates interspersed with measurements in the computational bases and T–gates for $N=8$ qubits and 4 time steps. The measurements and T–gates appear randomly with probability $p$ and $q(N)=\eta/N^{\beta}$ , respectiv