[论文解读] Entiers friables dans des progressions arithm\'etiques de grand module

Régis de la Bretèche, Daniel Fiorilli|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 1

一句话总结

该论文为模数 q 最大达 x/M（其中 M → ∞）时，y-光滑整数（平滑数）在模 q 算术级数中的平均误差项建立了渐近公式。通过谱方法以及对黎曼ζ函数和Dickman函数的显式估计，作者证明平均误差渐近为 −|a|Ψ(x/|a|, y)/(2x)，从而修正了 y-光滑数在算术级数中分布的偏差。

ABSTRACT

29 pages, in French

研究动机与目标

• 分析 y-光滑整数在模 q 算术级数中分布的平均误差，尤其关注当 q 相对于 x 较大时的情形。
• 将先前关于素数分布中误差偏差的结果推广至在 N 中不稠密的 y-光滑整数这一稀疏序列。
• 为模数 q ≤ x/M 且满足 (a, q) = 1 的平均误差项 σ(x, y, M; a) 推导出显式的渐近公式。
• 量化误差偏差对 a 的算术性质的依赖性，特别是通过函数 ρ(u_a) 和三元除数函数 τ₃(a)。

提出的方法

• 使用Perron公式和围道积分，将求和 σ(x, y, M; a) 表示为包含ζ函数和 y-光滑数特征函数狄利克雷级数的复积分。
• 应用截断Perron公式和 ζ(s₁, y)/ζ(s₁)(s₁ − 1) 的近似函数方程，以估计主项。
• 采用函数 I(x, y; M)，定义为 b̺(s)e^{us}ds 的围道积分，以逼近具有大素因子的整数上 Möbius 类函数的和。
• 在区域 (Hε) 内使用ζ函数和Dickman函数 ρ(u) 的显式界，依赖于Hildebrand和Drappeau关于光滑数分布的结果。
• 应用ζ(s)的非零区域和零自由区域，以控制围道平移中的误差项，特别是当 σ₁ = α₀ = 1 − ξ(u)/log y 时。
• 通过 |ζ(s₁)| 的界和指数和的估计，对围道的竖直和水平部分的误差贡献进行估计，得到包含 H(u)^{-δ} 和 Lε(M)^{-1} 的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 (a, q) = 1 时，在 q ≤ x/M 范围内，y-光滑整数 ≡ a mod q 的计数中，平均误差是什么？
• RQ2 y-光滑数在算术级数中分布的偏差如何依赖于 a 的算术结构？
• RQ3 能否使用谱方法和ζ函数估计来量化如 y-光滑数这类稀疏序列的误差偏差？
• RQ4 Dickman函数 ρ(u) 及其平移 ρ(u_a) 在确定平均误差主项中起什么作用？
• RQ5 误差项如何依赖于 M（模数范围）和除数函数 τ₃(a)？

主要发现

• 平均误差项 σ(x, y, M; a) 渐近为 −ϕ(|a|)x/(2M|a|) ⋅ ρ(u_a)，其中 u_a = u − (log|a|)/log y 且 u = log x / log y。
• 误差项阶为 O_ε,A(τ₃(a)² Ψ(x, y)/(M Lε(M)))，其中 Lε(M) = exp{(log M)^{3/5−ε}}。
• 主项与 y-光滑数分布中的偏差一致，类似于Fiorilli在素数分布中观察到的偏差。
• 该结果在区域 (Hε): exp{(log log x)^{5/3+ε}} ≤ y ≤ x 内一致成立，且在约束 M ≤ min{H(u)^δ (log x)^A, y^δ} 下成立。
• 证明了对和 Φ_μ(x, y) 的近似 I(x, y; M) 满足 I(x, y; M) = ρ(u) {1 + O(1/(H(u)^δ Lε/2(M)) + 1/Lε/2(y))}，从而改进了先前的估计。
• 该结果可推广至不带互素条件 (a, q) = 1 的情形，得到 X_{q ≤ x/M} E*(x, y; a, q) = −x/2M ⋅ ρ(u_a) + O_ε(τ₄(a)τ₃(a)Ψ(x, y)/(M Lε(M)))。