[论文解读] Entire functions of exponential type represented by pseudo-random and random Taylor series
本文研究了由具有伪随机或随机系数的泰勒级数生成的指数型整函数的零点角分布。结果表明，零点分布受系数序列自相关性的控制，证明了多项式相位和幂律相位下零点的均匀角分布，并建立了在何种谱条件下零点集会避开某些方向。
We study the influence of the multipliers $\\xi (n)$ on the angular distribution of zeroes of the Taylor series \\[ F_\\xi (z) = \\sum_{n\\ge 0} \\xi (n) \\frac{z^n}{n!}\\,. \\] We show that the distribution of zeroes of $ F_\\xi $ is governed by certain autocorrelations of the sequence $ \\xi $. Using this guiding principle, we consider several examples of random and pseudo-random sequences $\\xi$ and, in particular, answer some questions posed by Chen and Littlewood in 1967. As a by-product we show that if $\\xi$ is a stationary random integer-valued sequence, then either it is periodic, or its spectral measure has no gaps in its support. The same conclusion is true if $\\xi$ is a complex-valued stationary ergodic sequence that takes values from a uniformly discrete set.
研究动机与目标
- 理解乘子 ξ(n) 的选择如何影响整函数 Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n! 的零点角分布。
- 将关于随机或准周期系数下零点分布的已知结果推广到更广泛的序列类。
- 建立平稳序列的谱测度与相关整函数的指标图之间的联系。
- 解决陈与利特尔伍德（1967）提出的关于 ξ(n) = e(n^β) 且 β ≥ 3/2 时函数零点分布的开放问题。
- 证明对于平稳整数值或均匀离散取值的序列，其谱测度无间隙，除非该序列是周期性的。
提出的方法
- 使用位势论和指数和 W_R(θ) = ∑_{|n|≤N} ξ(n+R) e(nθ) e^{-n²/(2R)} 在 R ≫ 1 且 N ≈ R^{1/2+ε} 时的渐近分析。
- 将零点分布问题转化为与 ξ(n) 自相关结构相关的指数和的下界估计。
- 应用博赫纳定理和卡特赖特定理，分析插值 ξ(n) 的逼近整函数的收敛性。
- 利用波利亚关于拉普拉斯变换的定理，将 f(s) = ∑ ξ(n)sⁿ 的解析延拓与 Fξ 的指标图联系起来。
- 采用 Phragmén–Lindelöf 定理和水平带内的一致收敛性，控制逼近函数的增长。
- 分析平稳序列的谱测度 σ(ξ)，并证明：若 σ(ξ) 存在间隙，则 Fξ 在某些方向上增长缓慢，除非序列是周期性或退化的，否则与指数型矛盾。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，整函数 Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n! 的零点在角度上呈均匀分布？
- RQ2系数序列 ξ(n) 的自相关性如何影响 Fξ 的零点角分布？
- RQ3平稳序列 ξ(n) 的谱测度与相关整函数 Fξ 的指标图之间有何关系？
- RQ4当 ξ(n) 是平稳高斯过程时，Fξ 的零点分布是否可能非均匀？
- RQ5平稳性及 ξ(n) 的离散取值范围对谱测度施加了何种限制，特别是对支撑中间隙的影响？
主要发现
- 当 ξ(n) = e(Q(n))，其中 Q 为实系数多项式且次数 ≥2 且至少有一个系数为无理数时，Fξ 的零点在角度上呈均匀分布（即 ξ 为 L-序列）。
- 当 ξ(n) = e(n^β) 且 β > 1 非整数时，包括 β ≥ 3/2 的情况，Fξ 的零点在角度上呈均匀分布，证实了陈与利特尔伍德的猜想。
- 若 ξ 为平稳整数值序列，则要么 ξ 是周期性的，要么其谱测度在其支撑中无间隙。
- 若 ξ 为平稳复数值遍历序列且取值于均匀离散集，则其谱测度无间隙，除非 ξ 是周期性的。
- 对于平稳高斯序列，Fξ 的零点集具有通常非恒定的角密度，该密度由 ξ 的谱决定，即由其自相关性决定。
- Fξ 的指标图包含于谱 σ*(ξ) 的闭凸包内；若 σ(ξ) 避免单位圆上某段弧，则 Fξ 在对应方向上的增长速度慢于 e^r。
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