[论文解读] Entire functions of several variables of bounded index

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Meromorphic and Entire Functions被引用 7

一句话总结

本专著引入了复多个变量的整函数在给定方向 $ \boldsymbol{b} $ 上有界 $ L $-指标的新概念，推广了经典的有界指标理论。通过方向导数和对数导数建立有界性的判别准则，将一维结果推广至多变量情形，同时克服了以往基于偏导数方法的技术局限。

ABSTRACT

This monograph is devoted to the theory of entire functions of several variables. A definition of bounded index was supposed by B. Lepson. We generalised his definition for several variables and obtained criteria of L-index boundedness in direction. In particular we obtained obtain analogues of one-dimensional criterion of boundedness L-index in terms of behaviour the logarithmic derivative outside of zero sets, sufficient conditions of L-index boundedness in direction for some subclass of entire functions with "plane" zeros, sufficient conditions of L-index boundedness of entire solutions for some partial differential equations. Besides differential equations, entire functions of bounded index have application in the theory of value distribution. The monograph is published by "Chyslo": http://chyslo.com.ua/index.php?route=product/category&path=62

研究动机与目标

• 将一复变量有界指标的概念推广至多个复变量的整函数，利用方向导数。
• 克服基于偏导数的先前方法的局限性，特别是在分析零点集和无穷乘积增长方面。
• 通过在零点集外对对数导数行为的刻画，建立有界 $ L $-指标的表征。
• 为线性微分系统整解在联合变量上具有有界 $ L $-指标提供充分条件。
• 统一并推广多维情形下现有的有界指标与有界 $ l $-指标理论。

提出的方法

• 通过方向导数的增长 $ \frac{\big|\frac{\nabla_{\boldsymbol{b}}^m F(z)}{m! L^m(z)}\big| $ 定义复多个变量整函数在方向 $ \boldsymbol{b} $ 上的有界 $ L $-指标，其中 $ L:\bbC^n \to \bbR_+ $ 为连续控制函数。
• 引入方向截面函数 $ g_z(t) = F(z + t\boldsymbol{b}) $，将多变量分析转化为一维整函数分析。
• 利用对数导数 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 刻画零点集外的有界性，避免依赖偏导数。
• 定义 $ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,t_0,\rho) $ 和 $ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,\rho) $，控制直线 $ z + t\boldsymbol{b} $ 上 $ L $-值的比值，确保一致性。
• 引入类 $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $，其中函数 $ L $ 满足 $ 0 < \tilde{\rho}_1(\rho) \triangleq \tilde{\rho}_1^{\boldsymbol{b}}(\rho) \triangleq \text{ess inf} \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} \text{ over } |t-t_0| \rho/L(z+t_0\boldsymbol{b}) $，确保正则性。
• 定义集合 $ G_r^{\boldsymbol{b}}(F,z^0) $ 为 $ g_{z^0}(t) $ 的零点周围闭圆盘的并集，按 $ 1/L $ 缩放，以定位潜在增长区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用方向导数将一复变量有界指标的概念推广至多个复变量的整函数？
• RQ2 控制函数 $ L $ 和函数 $ F $ 需满足何种条件，才能保证 $ F $ 在给定方向 $ \boldsymbol{b} $ 上具有有界 $ L $-指标？
• RQ3 如何通过在零点集外对对数导数 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 的行为刻画，表征多个变量情形下的有界 $ L $-指标？
• RQ4 线性微分系统整解在联合变量上具有有界 $ L $-指标的充分条件是什么？
• RQ5 新方法能否克服基于偏导数的早期方法的技术局限性，特别是针对具有平面零点的无穷乘积？

主要发现

• 论文通过在适当 $ L $-正则性条件下，对对数导数 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 在 $ g_z(t) $ 零点集外的统一有界性，建立了复多个变量整函数在方向 $ \boldsymbol{b} $ 上有界 $ L $-指标的表征。
• 证明了当 $ L \triangleq \text{const} $ 时，新定义退化为经典的方向有界指标，确保与已知结果的一致性。
• 类 $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $ 确保在相关邻域内比值 $ \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} $ 远离零和无穷，从而支持一致估计。
• 对于在方向 $ \boldsymbol{b} $ 上具有有界 $ L $-指标的函数 $ F $，其最大模 $ M(r,F,z) $ 的增长至多为 $ \text{const} \times \text{exp}\big( \text{const} \times r \big) $，其中常数依赖于 $ L $ 和 $ \boldsymbol{b} $。
• 新框架允许分析具有平面零点集（如无穷乘积）的整函数，这些在以往基于偏导数的定义下存在困难。
• 导出了联合变量上具有有界 $ L $-指标的充分条件，将线性微分系统解的结果推广至新的方向性框架。