[论文解读] Entire Functions Sharing Small Functions With Their Difference Operators

Zinelaâbidine Latreuch, Abdallah El Farissi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Meromorphic and Entire Functions参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文通过证明：若一个有限级的非常数整函数与它的第n阶和(n+1)阶差分算子（计重数）共同分享两个小的周期函数，则(n+1)阶差分算子等于n阶差分算子，从而建立了复分析中经典唯一性定理的差分算子类比。结果将早期关于微分唯一性的研究推广至差分方程，使用Nevanlinna理论和有限级整函数及其小函数（按S(f)意义）的值分布技术。

ABSTRACT

We investigate uniqueness problems for an entire function that shares two small functions of finite order with their difference operators. In particular, we give a generalization of a result in $[2]$.

研究动机与目标

• 将亚纯函数的经典唯一性定理推广至有限级整函数背景下的差分算子。
• 研究整函数在何种条件下与它的差分算子（特别是第n阶和(n+1)阶差分）共享小的周期函数。
• 将先前关于微分唯一性（例如定理B）的结果推广至差分方程，建立此类结果的差分类比。
• 在共享小函数条件下，确定(n+1)阶差分算子何时等于n阶差分算子。
• 探索满足与差分算子共享值条件（尤其在CM意义下）的整函数结构。

提出的方法

• 利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论，特别关注整函数的阶与增长类型。
• 应用相对于f的小函数概念，记为S(f)，其中当r → ∞时，T(r,a) = S(r,f)在对数测度有限的集合外成立。
• 采用差分算子Δ_c^n f(z) = Δ_c(Δ_c^{n-1}f(z))（含平移c），并研究其值分布与f(z)的关系。
• 通过代换g(z) = f(z) + b(z) - a(z)将非零小函数的共享值问题转化为共享零点问题。
• 分析由比值表示Δ_c^n f / f = e^{P(z)}产生的指数函数的增长性与周期性，当多项式P与Q的次数不同时导出矛盾。
• 基于指数表示中多项式P(z)与Q(z)的次数比较，使用反证法，表明若deg P = deg(Q - P) > 1或deg P = 1，则除非算子相等，否则会产生不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个有限级的整函数f与它的第n阶和(n+1)阶差分算子（计重数）共同分享一个小的周期函数a(z)？
• RQ2 能否将微分算子的经典唯一性结果（例如f ≡ f'）推广至有限级整函数背景下的差分算子？
• RQ3 当f、Δ_c^n f与Δ_c^{n+1} f在CM意义下共同分享0时，这会对f及其差分算子的结构产生何种约束？
• RQ4 当f、Δ_c^n f与Δ_c^{n+1} f共同分享一个小函数a(z)（CM）时，Δ_c^{n+1}f是否可能不同于Δ_c^n f？若可能，其条件为何？
• RQ5 所涉及函数（尤其是指数项）的增长性与周期性特性如何影响差分算子的唯一性与相等性？

主要发现

• 若一个非常数的有限级整函数f与Δ_c^n f和Δ_c^{n+1} f共同分享一个非零小周期函数a(z) ∈ S(f)（计重数），则Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f。
• 当f − a(z)、Δ_c^n f − b(z)与Δ_c^{n+1} f − b(z)在CM意义下共同分享0，且b(z) ∈ S(f)时，有Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f。
• 当f、Δ_c^n f与Δ_c^{n+1} f在CM意义下共同分享0时，比值Δ_c^n f / f = e^{P(z)}与Δ_c^{n+1} f / f = e^{Q(z)}，其中P与Q为多项式；若deg P = deg(Q − P) > 1，则产生矛盾。
• 当deg P = deg(Q − P) = 1时，函数e^{P(z)}具有周期c，导致Δ_c^{n+1} f = C Δ_c f，这与假设矛盾，除非Δ_c^{n+1} f ≡ C Δ_c^n f。
• 即使共享的小函数为非平凡函数，只要其周期为c且属于S(f)，结果Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f仍然成立。
• 本文解决了开放问题，表明在CM共享条件下，高阶差分算子的等式关系得以保持，将定理E与F推广至(n+1)阶差分算子。