[论文解读] Entire radial and nonradial solutions for systems with critical growth

Francesca Gladiali, Massimo Grossi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用整体分支理论与对称性破缺论证，证明了在 $[\mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) 上一类具有临界增长的非线性椭圆组存在径向与非径向整体解。关键贡献在于通过线性化算子的谱分析与不变子空间分解，证明了非合作系统中非径向解的存在性，尤其针对临界双曲面上的系统。

ABSTRACT

In this paper we establish existence of radial and nonradial solutions to the system $$ \begin{array}{ll} -Δu_1 = F_1(u_1,u_2) & ext{in }\mathbb{R}^N, ewline -Δu_2 = F_2(u_1,u_2) & ext{in }\mathbb{R}^N, ewline u_1\geq 0,\ u_2\geq 0 & ext{in }\mathbb{R}^N, ewline u_1,u_2\in D^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} $$ where $F_1,F_2$ are nonlinearities with critical behavior.

研究动机与目标

• 建立 $[\mathbb{R}^N$ 上一类具有临界增长的非线性椭圆组整体径向与非径向解的存在性。
• 通过分支理论与谱分析，解决临界系统中紧性与变分结构的缺失问题。
• 研究非合作系统中最大值原理不适用时的对称性破缺，导致非径向解的产生。
• 利用不变子空间技术与球谐函数，将先前关于径向解的结果扩展至非径向解。
• 分析平凡解附近线性化算子的结构，并确定非平凡解出现的条件。

提出的方法

• 利用整体分支理论，从平凡解族 $U_{\delta,y}$（参数为 $\delta > 0$ 与 $y \in \mathbb{R}^N$）出发构造解。
• 对平凡解处的线性化系统进行谱分析，检测特征值穿过零点的分支点。
• 利用球谐函数分解解空间，并利用旋转与反射下的对称性性质，分离不变子空间。
• 定义不变子空间 $X_{\mathcal{S}_m}$ 与 $\mathcal{Z}_m$，将问题限制在具有特定对称性与角变量周期性的函数上。
• 通过勒让德多项式展开球谐函数，表征解的角向依赖性。
• 证明线性化算子在不变子空间 $\mathcal{Z}_m$ 中的核为一维，从而可应用分支定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^N$ 上，非合作系统具有临界增长时，在何种条件下存在非径向整体解？
• RQ2 非线性项的结构，特别是临界双曲面上的性质，如何影响解的存在性与对称性？
• RQ3 能否将分支理论应用于具有临界增长的非变分系统，以构造非平凡解？
• RQ4 当径向解存在时，对称性破缺机制在生成非径向解中起何种作用？
• RQ5 在对称子空间中，线性化算子的核的维数是多少？其如何影响分支行为？

主要发现

• 当耦合矩阵 $A$ 的特征值达到特定值时，系统存在非平凡径向解，该结论通过分支理论得到证明。
• 对于满足 $1 - \alpha < 0$ 的非合作系统，存在非径向解，表明组分间存在排斥相互作用。
• 当 $m \geq 2$ 时，线性化算子在不变子空间 $\mathcal{Z}_m$ 中的核为一维，且 $\gamma(m) = 1$，从而支持分支的发生。
• 非径向解作为平凡解族 $U_{\delta,y}$ 的扰动被构造，其角向依赖性由 $\operatorname{Im}((x_1 + i x_2)^m)$ 给出。
• 解 $(0, W_{m,m}(r) Y_m)$ 属于 $\mathcal{Z}_m$，证实了具有指定对称性的非径向解的存在。
• 分析表明，线性化算子在 $X_{\mathcal{S}_m}$ 中无非平凡解，确保分支仅在 $\mathcal{Z}_m$ 不变子空间中发生。