[论文解读] Entire self-similar solutions to Lagrangian Mean curvature flow

Albert Chau, Jingyi Chen+1 more|ArXiv.org|May 24, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文证明了在 Hessian 特征值均匀有界于 (-1,1) 的条件下，整个自相似自缩小时变的拉格朗日子曲率流孤立子必为二次多项式，而自膨胀孤立子与满足相同 Hessian 有界条件的齐次二次函数之间存在一一对应关系。此外，本文进一步证明：若初始势函数在无穷远处呈圆锥型，则缩放后的流在时间趋于无穷时光滑收敛于一个膨胀孤立子。

ABSTRACT

We consider self-similar solutions to mean curvature evolution of entire Lagrangian graphs. When the Hessian of the potential function $u$ has eigenvalues strictly uniformly between -1 and 1, we show that on the potential level all the shrinking solitons are quadratic polynomials while the expanding solitons are in one-to-one correspondence to functions of homogenous of degree 2 with the Hessian bound. We also show that if the initial potential function is cone-like at infinity then the scaled flow converges to an expanding soliton as time goes to infinity.

研究动机与目标

• 在 Hessian 特征值约束条件下，对拉格朗日子曲率流的完整自相似解进行分类。
• 建立满足 Hessian 有界条件的自膨胀孤立子与满足相同条件的齐次二次函数之间的一一对应关系。
• 证明当初始势函数在无穷远处呈圆锥型时，缩放后的平均曲率流收敛于一个膨胀孤立子。
• 将拉格朗日几何中出现的完全非线性抛物方程的存在性与唯一性结果进行推广。

提出的方法

• 分析完全非线性抛物方程 $ \frac{du}{dt} = G(D^2u) $，其中 $ G(D^2u) = \frac{1}{\sqrt{-1}}\log\frac{\det(I_n + \sqrt{-1}D^2u)}{\sqrt{\det(I_n + (D^2u)^2)}} $，该方程控制拉格朗日子曲率流。
• 应用先前工作 [2] 中的存在性与梯度估计，以及 [3] 中的唯一性结果，以控制高阶导数。
• 使用缩放论证：定义 $ u_\lambda(x,t) = \lambda^{-2}u(\lambda x, \lambda^2 t) $ 以分析长时间行为。
• 应用 Arzelà-Ascoli 定理于子列 $ u_{\lambda_i} $，以提取光滑且紧收敛的极限。
• 施加条件 A（在 $ (-1,1) $ 内 Hessian 一致有界）与条件 B（齐次性为 2 次）以对孤立子进行分类。
• 证明当 $ t \to \infty $ 时，$ t^{-1}u(\sqrt{t}x,t) $ 收敛于一个自膨胀孤立子 $ U(x,1) $，在圆锥型初始数据条件下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 Hessian 特征值在 $ (-1,1) $ 内均匀有界的完整自缩小时变孤立子是否必为二次多项式？
• RQ2 是否存在满足条件 A 的自膨胀孤立子与满足条件 A 和 B 的齐次二次函数之间的一一对应关系？
• RQ3 当初始势函数在无穷远处呈圆锥型时，缩放后的平均曲率流是否收敛于一个自膨胀孤立子？
• RQ4 在圆锥型初始条件下，拉格朗日子曲率流的长时间行为是否可通过缩放极限来刻画？

主要发现

• 所有满足条件 A（Hessian 在 $ (-1,1) $ 内一致有界）的光滑自缩小时变孤立子均为二次多项式。
• 存在光滑自膨胀孤立子与满足条件 A 和 B 的齐次二次函数之间的一一对应关系。
• 由于与齐次二次函数的对应关系，条件 A 下存在无穷多个非平凡的光滑自膨胀孤立子。
• 若初始势函数 $ u_0 $ 满足 $ \lim_{\lambda \to \infty} \lambda^{-2}u_0(\lambda x) = U_0(x) $，则当 $ t \to \infty $ 时，$ t^{-1}u(\sqrt{t}x,t) $ 在紧子集上一致且光滑收敛于 $ U(x,1) $。
• 极限 $ U(x,1) $ 是一个自膨胀孤立子，且缩放解 $ v(x,s) = t^{-1}u(\sqrt{t}x,t) $ 满足方程 $ \frac{\partial v}{\partial s} = G(D^2v) - v + \frac{1}{2}\nabla v \cdot x $，从而确认其收敛于孤立子。
• 该方法避免使用先前工作中依赖的单调性公式，转而依赖于 [2] 和 [3] 中的存在性、唯一性及导数估计。