[论文解读] Entire solutions of delay differential equations of Malmquist type

Ranran Zhang, Zhi-Bo Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Meromorphic and Entire Functions参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了Malmquist型时滞微分方程，刻画了所有具有亚纯整解且超级数小于1的约化形式。该研究通过去除先前结果中关于有理函数分母的根为非零有理函数在z中的限制性假设，扩展了已有成果，并建立了此类解的生长性与值分布性质。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the delay differential equations of Malmquist type of form \begin{equation*} w(z+1)-w(z-1)+a(z)\frac{w'(z)}{w(z)}=R(z, w(z)),~~~~~~~~~~~~~~(*) \end{equation*} where $R(z, w(z))$ is an irreducible rational function in $w(z)$ with rational coefficients and $a(z)$ is a rational function. We characterize all reduced forms when the equation $(*)$ admits a transcendental entire solutions with hyper-order less than one. When we compare with the results obtained by Halburd and Korhonen[Proc.Amer.Math.Soc., forcoming],we obtain the reduced forms without the assumptions that the denominator of rational function $R(z,w(z))$ has roots that are nonzero rational functions in $z$. The growth order and value distribution of transcendental entire solutions for the reduced forms are also investigated.

研究动机与目标

• 刻画所有具有超阶小于1的亚纯整解的Malmquist型时滞微分方程的约化形式。
• 解决一个开放问题：是否可以在不假设有理函数分母的根为非零有理函数在z中的前提下，获得约化结果。
• 研究约化形式下亚纯整解的生长阶与值分布性质。
• 将Halburd与Korhonen早期工作中所施加的限制扩展至时滞微分方程的Malmquist型定理。

提出的方法

• 应用Nevanlinna理论分析亚纯函数的生长性与值分布，特别关注超阶与零点的亏量。
• 利用小函数概念与特征函数T(r, f)比较解及其平移的生长性。
• 采用Hadamard因式分解定理，将整解表示为w(z) = H(z)e^{g(z)}的形式，其中H为多项式，g为超越整函数。
• 推导解的平移相关的关键恒等式，如w(z+1) - w(z-1)，并利用特征函数估计分析其渐近行为。
• 应用引理5.1研究平移函数的生长性，比较T(r, f(z+c))与T(r, f(z))，在假设有限迭代阶时导出矛盾。
• 对解及其导数的结构进行分类讨论，排除不可能的配置，最终实现有效约化形式的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设有理函数分母的根为非零有理函数在z中的前提下，获得Malmquist型时滞微分方程的约化结果？
• RQ2 哪些完整的约化形式允许具有超阶小于1的亚纯整解？
• RQ3 此类解的a-值生长阶与值分布行为如何？
• RQ4 是否可以对约化形式的所有有限迭代阶整解进行分类？

主要发现

• 方程(1.2)约化为以下两种形式之一：w(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = a₁(z)w(z) + a₀(z)，或w(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = (a₂(z)w(z)² + a₁(z)w(z) + a₀(z))/w(z)，其中a₂, a₁, a₀为有理函数。
• 约化形式在无需先前假设分母根为非零有理函数在z中的前提下成立，从而推广了早期结果。
• 对于约化形式，整解的超阶满足σ₂(w) < 1，且亏量Θ(0, w) = 0，表明零点不是亏量值。
• 方程w(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = a₁(z)w(z) + a₀(z)不存在有限迭代阶的整解，通过特征函数估计导出矛盾得以证明。
• 解的值分布表明，w(z)及其相关表达式的零点无亏量，意味着在Nevanlinna理论意义下分布均匀。
• 证明方法通过比较平移函数的生长性并利用迭代阶分析导出矛盾，成功排除了有限迭代阶的配置。