[论文解读] Entire solutions of Schrödinger elliptic systems with discontinuous nonlinearity and sign-changing potential

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过非光滑临界点理论，建立了具有不连续非线性和变号势能的一类静止Schrödinger椭圆系统的非平凡整解的存在性。通过应用Chang的局部Lipschitz泛函山路引理，证明了在次临界增长和下有界的爆破势能条件下，存在一个非平凡弱解，从而将Rabinowitz的结果推广到非光滑框架。

ABSTRACT

We establish the existence of an entire solution for a class of stationary Schrödinger systems with subcritical discontinuous nonlinearities and lower bounded potentials that blow-up at infinity. The proof is based on the critical point theory in the sense of Clarke and we apply Chang's version of the Mountain Pass Lemma for locally Lipschitz functionals. Our result generalizes in a nonsmooth framework a result of Rabinowitz \cite{rabi} related to entire solutions of the Schrödinger equation.

研究动机与目标

• 建立具有不连续非线性的耦合Schrödinger椭圆系统整解的存在性。
• 将Rabinowitz关于Schrödinger方程整解结果推广到非光滑、不连续的设定。
• 分析下有界、爆破势能的系统，其势能不一定光滑或定号。
• 在非线性不连续的情况下，应用变分方法，利用Clarke的广义梯度和非光滑分析。
• 在临界点框架下，将整解的存在性理论推广至具有不连续和变号非线性的系统。

提出的方法

• 使用Clarke的广义梯度，将问题重新表述为多值椭圆系统，适用于局部Lipschitz泛函。
• 在希尔伯特空间E上定义一个泛函I，结合能量项和多值非线性项的积分。
• 在其非光滑版本（即Chang的版本）中应用山路引理于局部Lipschitz泛函I。
• 构造一个Palais-Smale序列，并证明其在E中有界，从而实现弱收敛和在L^2_loc中的强收敛。
• 通过紧致性论证和次微分的结构，确保弱极限U在Clarke意义下为弱解。
• 通过反证法证明解的非平凡性，即序列在L^{p+1}中不收敛于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不连续非线性和变号势能的Schrödinger椭圆系统是否存在整解？
• RQ2 经典山路定理能否推广至具有非光滑、不连续非线性的系统？
• RQ3 在变分框架下，势能和非线性需满足何种条件，才能保证非平凡整解的存在性？
• RQ4 当非线性不连续时，如何利用Clarke的广义梯度定义弱解？
• RQ5 在次临界增长和爆破势能条件下，通过非光滑临界点理论获得的解是否非平凡？

主要发现

• 系统 −Δu₁ + a(x)u₁ ∈ [f̲(x,u₁,u₂), f̄(x,u₁,u₂)] 和 −Δu₂ + b(x)u₂ ∈ [g̲(x,u₁,u₂), ḡ(x,u₁,u₂)] 几乎处处在ℝ^N上存在非平凡整解。
• 解U作为希尔伯特空间E中Palais-Smale序列的弱极限获得，该序列有界，在E中弱收敛且在L^2_loc(ℝ^N)中强收敛。
• 解U在Clarke广义梯度意义下满足系统，几乎处处在ℝ^N上满足W(x) ∈ [f̲(x,U), f̄(x,U)] × [g̲(x,U), ḡ(x,U)]。
• 通过证明序列{U_m}在L^{p+1}(ℝ^N; ℝ^2)中不收敛于零，确立了解的非平凡性。
• 泛函I满足山路几何结构和非光滑Palais-Smale条件，确保序列收敛于临界点。
• 该结果将Rabinowitz的整解存在性结果推广至具有不连续非线性和变号势能的非光滑变分框架下的系统。