[论文解读] Entire subsolutions of fully nonlinear degenerate elliptic equations

Italo Capuzzo Dolcetta, Fabiana Leoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文证明了 Keller–Osserman 条件对于全空间中完全非线性退化椭圆不等式 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ 和 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ 的整体粘性次解的存在性而言，既是必要条件也是充分条件，其中 $f$ 为正、连续且非减函数。证明依赖于与关联常微分方程的径向解进行比较，将经典结果推广至退化椭圆算子。

ABSTRACT

We prove existence and non existence results for fully nonlinear degenerate elliptic inequalities, by showing that the classical Keller--Osserman condition on the zero order term is a necessary and sufficient condition for the existence of entire sub solutions.

研究动机与目标

• 建立完全非线性退化椭圆不等式整体粘性次解的存在性与非存在性准则。
• 将经典 Keller–Osserman 条件推广至如 $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 和 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 等退化椭圆算子。
• 研究当零阶项 $f(u)$ 有下界且非减时，Keller–Osserman 条件是否仍为必要且充分。
• 通过分析退化 Hessian 算子背景下非吸收的正零阶项，弥合文献中的空白。
• 在 $f$ 和 $F$ 的结构假设最小化的前提下，为非存在性结果提供统一框架。

提出的方法

• 使用完全非线性退化椭圆 PDE 的粘性解理论。
• 通过关联常微分方程的解构造径向次解，利用对称性与比较原理。
• 应用次解与径向函数之间的比较论证，推导出必要与充分条件。
• 将经典 Keller–Osserman 技术适配至如 $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 和 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 等非一致椭圆的退化算子。
• 利用 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 的极大性性质，将结果推广至更广泛的退化算子类。
• 将问题约化为对 $f$ 的积分条件，特别是 $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt$ 的收敛性或发散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 为正、连续且非减时，Keller–Osserman 条件是否对 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ 的整体粘性次解存在性而言既是必要又是充分的？
• RQ2 在相同 $f$ 假设下，该条件是否同样适用于退化极大 Pucci 算子 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$？
• RQ3 Keller–Osserman 条件能否推广至有下界且非减的非吸收零阶项？
• RQ4 主部与零阶项中的退化性在允许或禁止整体解方面起到何种作用？
• RQ5 在何种条件下，非齐次方程 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$ 允许存在有界粘性解？

主要发现

• Keller–Osserman 条件 $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt = \infty$ 对于 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$（其中 $1 \leq k \leq n$）存在整体粘性次解而言，既是必要条件也是充分条件。
• 对于算子 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$，当 $f$ 为正、连续且严格递增时，相同的 Keller–Osserman 条件是存在整体粘性次解的必要且充分条件。
• 即使 $f$ 仅为非减且有下界，只要其满足一个温和增长条件（例如 $f(t) \geq \tilde{f}(t)$，其中 $\tilde{f}$ 满足该条件），该条件仍为必要。
• 推论 3.7 表明，对于 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$，若 $\inf g > \inf f$，则存在有界粘性解；若 $\sup g \leq \inf f$，则不存在有界粘性解，前提是 $f$ 满足积分条件。
• 即使主部与零阶项均存在退化性，比较原理依然成立，从而使得经典结果可推广至退化情形。
• 如附注 3.8 所示，结果可推广至满足 $F(x, O) = 0$ 及椭圆性条件的更广泛算子类 $F(x, D^2u)$。