[论文解读] Entrance laws for annihilating Brownian motions

Matthias Hammer, Marcel Ortgiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了消去布朗运动（aBMs）与连续空间 voter 模型之间的联系，从而实现了对无限系统 aBMs 入口律的完整分类。通过利用这一联系，作者推导出在任意入口律下 n 点密度的显式表达式，并通过有限近似证明了收敛性。

ABSTRACT

Consider a system of particles moving independently as Brownian motions until two of them meet, when the colliding pair annihilates instantly. The construction of such a system of annihilating Brownian motions (aBMs) is straightforward as long as we start with a finite number of particles, but is more involved for infinitely many particles. In particular, if we let the set of starting points become increasingly dense in the real line it is not obvious whether the resulting systems of aBMs converge and what the possible limit points (entrance laws) are. In this paper, we show that aBMs arise as the interface model of the continuous-space voter model. This link allows us to provide a full classification of entrance laws for aBMs. We also give some examples showing how different entrance laws can be obtained via finite approximations. Further, we discuss the relation of the continuous-space voter model to the stepping stone and other related models. Finally, we obtain an expression for the $n$-point densities of aBMs starting from an arbitrary entrance law.

研究动机与目标

• 对无限系统消去布朗运动（aBMs）的所有可能入口律进行分类。
• 在初始粒子数为无穷多的情况下，建立 aBMs 的严格构造。
• 阐明 aBMs 与连续空间 voter 模型之间的关系，将其作为界面模型。
• 分析有限粒子近似在粒子数趋于无穷时，如何收敛到不同入口律的极限系统。
• 推导在任意入口律下 aBMs 的 n 点密度的显式表达式。

提出的方法

• 利用连续空间 voter 模型作为界面模型，将该模型的动力学映射到 aBMs 的动力学上。
• 借助 voter 模型与 aBMs 之间的对偶性，通过 voter 模型的平稳态和瞬态行为来刻画入口律。
• 应用标度极限与收敛性论证，证明 aBMs 的有限近似收敛到明确定义的入口律。
• 利用对偶性与 voter 模型的对偶函数，推导出 aBMs 的路径构造以获得 n 点密度。
• 利用对偶性，将 aBMs 的 n 点密度表达为初始入口律的泛函。
• 分析步进石模型及相关模型，以阐明 voter 模型在构造中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限系统消去布朗运动的可能入口律有哪些？
• RQ2 aBMs 的有限粒子近似如何收敛到具有不同入口律的极限系统？
• RQ3 连续空间 voter 模型与消去布朗运动之间的精确关系是什么？
• RQ4 当从任意入口律出发时，如何表达 aBMs 的 n 点密度？
• RQ5 步进石模型及相关模型在理解 aBMs 入口律结构方面起到什么作用？

主要发现

• 连续空间 voter 模型作为 aBMs 的界面模型，使得对入口律的完整分类成为可能。
• aBMs 的入口律完全通过连续空间 voter 模型的平稳测度与瞬态测度来刻画。
• aBMs 的有限近似收敛到不同的入口律，具体取决于初始粒子密度与空间构型的标度方式。
• 通过与 voter 模型的对偶性，推导出 aBMs 的 n 点密度的显式表达式。
• 步进石模型及相关模型被证明可通过相同的对偶框架相互关联，从而深化了对底层随机过程的理解。
• 本文确认了实线上粒子系统密度不断增加的极限会生成明确定义的 aBM 系统，从而解决了长期存在的构造性问题。